Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 7 из 8)
Наслідок 5.7. Будь-яка рахункова замкнута множина в W(
1) компактно.Доказ.
Нехай А – рахункова замкнута множина в W(
1). Тому що замкнута підмножина компактного простору компактно ([8]), а множина А за умовою замкнуто, і за пропозицією 5.6 воно втримується в компактному підпросторі простору W( 1), те А компактно. :Пропозиція 5.8. Простір W(
1) розрахункове компактно.Доказ.
Нехай S – довільна нескінченна підмножина в W(
1), а ( 
n) – його строго зростаюча послідовність. За пропозицією 5.5 множина { n} не є кофинальним, тобто воно обмежено зверху. Нехай =sup n. У будь-якій околиці ( 
) крапки , де 
, є крапки послідовності n множини S. Тоді - гранична крапка множини S. :7. Простір W(
1) не метризуемо, тому що воно не компактно, але розрахункове компактно, а в метричних просторах будь-яке розрахункове компактний простір компактно.8. Компактификації.
Лема 5.9. З будь-яких двох не пересічних замкнутих множин в W(
1) хоча б одне обмежене.Доказ.
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що H і K – кофинальні замкнуті не пересічні множини. Ми можемо вибрати зростаючу послідовність (
n), n 
N, де n 
H для n – непарних, і n До для n – парних. Тому що множини Н и К замкнуті, те граничні крапки їм належать, тобто = sup n 
, чого бути не може, оскільки множини Н и К не перетинаються. :Пропозиція 5.10. Будь-яка функція f
З (W( 
1)) постійна на «хвості» W( 1)\W( ) ( залежить від f ).Доказ.
Помітимо, що будь-який «хвіст» W(
1)\W( 
), де 
W( 1), розрахункове компактний, тому що він є замкнутим підпростором розрахункове компактного простору W( 1) ([3]). Отже, кожна множина образів f [W( 1)\W( )] – це розрахункове компактна підмножина R (оскільки функція f безперервна, а безперервний образ розрахункове компактної множини розрахункове компактний ([3]) ) і, отже, компактно, тому перетинання 
[W( 1)\W( )] центрованого сімейства замкнутих множин не порожньо. Виберемо довільне число r із цього перетинання. Доведемо, що f -1(r) кофинальне в W( 1). Тому що r [W( 1)\W( )], те r f [W( 1)\W( )] для будь-якого W( 1). Отже, f –1(r) 
W( 1)\W( ) для кожного .Розглянемо для кожного n
N замкнута множина Аn = {x W( 1):| f (x) – r |
}. Воно не перетинається з f –1(r), а f –1(r) кофинальне, тому по лемі 5.9 Аn має точну верхню грань в W( 1). Позначимо n = sup An. Візьмемо довільне ординальне число >sup n. Нехай 
W( 1)\W( ), тоді > 
. Припустимо, що f ( ) 
r, тоді |f ( ) - r| для деякого n. Отже, 
Аn і 
n< , тобто 
, але > - протиріччя.Таким чином, f (
) = r для будь-якого W( 1)\W( ), > . :