Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 8 из 8)

Визначення 2.12. Нехай сХ – довільна компактификация тихоновського простору Х. Множина сХ\Х, тобто множина всіх крапок, який сХ відрізняється від Х, називається наростом компактификації сХ.

Визначимо впорядкування на сімействі ζ(Х) всіх компактификацій простору Х.

Визначення 2.13. Нехай з1Х и с2Х – компактификації простору Х. Покладемо з2Х

с1Х, якщо існує безперервне відображення f: з1Х с2Х таке, що f (х) = х для всіх х з1Х.

Відомо, що кожне некомпактне локально компактне хаусдорфово простір Х володіє компактификацією

Х с однокрапковим наростом. Ця компактификація є найменшим елементом сімейства ζ(Х) всіх компактификацій простору Х стосовно впорядкування й називається однокрапкової компактификацією (александровськой компактификацієй) ([3]). Звідси треба, що простір W( 1) { 1} є александровськой компактификацією простору W( 1).

Визначення 2.14. Нехай Х. - довільний тихоновський простір. Найбільший елемент сімейства ζ(Х) всіх компактификаций простору Х називається стоун-чеховської компактификацією (або стоун-чеховським розширенням) простору Х.

Пропозиція 5.12. Простір W(

1) має єдине компактне хаусдорфово розширення (а саме W( 1) { 1}).

Доказ.

Доведемо, що W(

1) { 1} є стоун-чеховської компактификацією простору W( 1). Відомо, що якщо кожне безперервне відображення тихоновского простору Х у компактний хаусдорфовий простір можна безупинно продовжити на деяку компактификацію Х простору Х, те Х є стоун-чеховської компактификацією простору Х ([3]). Таким чином, досить довести, що будь-яка безперервна функція, певна на W( 1), триває по безперервності на W( 1) { 1}.

Кожна безперервна речовинна функція, фінальне постійна, тобто для деякого а

W( 1) і всіх х, в > a маємо f (x) = f (y) (за пропозицією 5.10). Отже, якщо f продовжити на простір W( 1) { 1}, що є однокрапкової компактификацією простору W( 1), поклавши ( 1) = f (х), де х >a, |W( 1) = f , то ми одержимо безперервну функцію на W( 1) { 1}. Виходить, W( 1) { 1} – розширення Стоуна-Чеховського простору W( 1). :

Висновок

Метою курсової роботи було дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей. У першому розділі були дані основні поняття теорії множин і загальної топології, а в другому розділі було уведене поняття порядкового типу, установлені властивості порядкових чисел, а також проведене дослідження простору ординальних чисел, що має важливе значення для даної роботи. Були доведені хаусдорфовость, нормальність, локальна компактність, рахункова компактність і деякі інші властивості лінійно впорядкованого простору ординальних чисел.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Чиркова Н. В. Випускна кваліфікаційна робота «Лінійно впорядковані простори. - К., 2002.

2. Александров П. С. Введення в теорію множин і загальну топологію. К., 2007

3. Енгелькинг Р. Загальна топологія. – К., 2003

4. Келли Дж. Л. Загальна топологія. – К., 2001

5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомін Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 2007.

6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова Задачі по теорії множин, математичній логіці й теорії алгоритмів. – К., 2004