Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 1 из 8)
Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
Зміст
Введення
Розділ 1.Вихідні визначення
§1. Порядкові визначення
§2. Топологічні визначення
Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел
§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості
§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи
§3. Порядковий тип
§4. Властивості ординальних чисел
§5. Простір ординальних чисел W(
1) і його властивостіВисновок
Список літератури
ВВЕДЕННЯ
ординарний число упорядкований множина
Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).
Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.
Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.
Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.
РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми
§1. ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.
Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку
, що:рефлексивно: а
a;транзитивне: a
b c 
a c;антисиметричне: a
b a a = b ( для будь-яких a, b, c 
X ).Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо
а < b, a = b або b < a.
Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a
b і a 
b.Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.
Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А
Х, якщо а А и а х(х
а) для будь-якого х А.Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А
Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х а (а х) для деякого х 
, те х = а.Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.
Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).
Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.
Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.
Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.
Визначення 1.10. Нехай <X,
> - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо(a, b) = {x
X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина [a, b] = { x X : a x b} називається відрізком у Х.Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.
Визначення 1.12. Нехай М и М1 – упорядковані множини й нехай f – взаємно однозначне відображення М на М1. Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a
b ( a, b M ), треба, що f (a) f (b) (у М1). Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщо співвідношення f (a) f (b) виконано в тім і тільки в тому випадку, якщо a b. При цьому множини М и М1 називаються ізоморфними між собою.§2. ТОПОЛОГІЧНІ ВИЗНАЧЕННЯ
Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х,
), що складається із множини Х и деякого сімейства підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:множина Х и Æ належать
;перетинання кінцевого числа множин з
належать ;об'єднання будь-якого числа множин з
належить .Умови 1 – 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству
, називаються відкритими в Х. Сімейство відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.
Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.
Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.
Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.
Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).
Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.
Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення 1.20. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне його нескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.
Визначення 1.19 і 1.20 рівносильні ([5]).
Визначення 1.21. Простір
називається компактификацією топологічного простору Х, якщо:1)
компактно;2) Х – підпростір
;3) Х щільно в.
Визначення 1.22. Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різних крапок х1, х2
існує відкрита множина 
, таке, що х1 
і х2 
.