Смекни!
smekni.com

Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 1 из 8)

Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел


Зміст

Введення

Розділ 1.Вихідні визначення

§1. Порядкові визначення

§2. Топологічні визначення

Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості

§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи

§3. Порядковий тип

§4. Властивості ординальних чисел

§5. Простір ординальних чисел W(

1) і його властивості

Висновок

Список літератури


ВВЕДЕННЯ

ординарний число упорядкований множина

Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).

Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.

Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.

Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.


РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми

§1. ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.

Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку

, що:

рефлексивно: а

a;

транзитивне: a

b
c
a
c;

антисиметричне: a

b
a
a = b ( для будь-яких a, b, c
X ).

Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо

а < b, a = b або b < a.

Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a

b і a
b.

Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.

Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А

Х, якщо а
А и а
х

а) для будь-якого х
А.

Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А

Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х
а (а
х) для деякого х
, те х = а.

Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.

Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).

Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.

Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.

Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.

Визначення 1.10. Нехай <X,

> - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b
X, a < b покладемо

(a, b) = {x

X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина [a, b] = { x
X : a
x
b} називається відрізком у Х.

Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.

Визначення 1.12. Нехай М и М1 – упорядковані множини й нехай f – взаємно однозначне відображення М на М1. Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a

b ( a, b
M ), треба, що f (a)
f (b) (у М1). Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщо співвідношення f (a)
f (b) виконано в тім і тільки в тому випадку, якщо a
b. При цьому множини М и М1 називаються ізоморфними між собою.

§2. ТОПОЛОГІЧНІ ВИЗНАЧЕННЯ

Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х,

), що складається із множини Х и деякого сімейства
підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:

множина Х и Æ належать

;

перетинання кінцевого числа множин з

належать
;

об'єднання будь-якого числа множин з

належить
.

Умови 1 – 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству

, називаються відкритими в Х. Сімейство
відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.

Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.

Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.

Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.

Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.

Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).

Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.

Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.

Визначення 1.20. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне його нескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.

Визначення 1.19 і 1.20 рівносильні ([5]).

Визначення 1.21. Простір

називається компактификацією топологічного простору Х, якщо:

1)

компактно;

2) Х – підпростір

;

3) Х щільно в.

Визначення 1.22. Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різних крапок х1, х2

існує відкрита множина
, таке, що х1
і х2
.