Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат (стр. 4 из 6)

Зрозуміло, що

. По дистрибутивності, існують такі, що . Т.к. A – ідеал, те , тому що . Аналогічно, . Т.е. . Точно також, . Якщо , то легко показати, що .

Довели, що

- ідеал. Очевидно, він є верхньою гранню ідеалів A і B. Якщо C містить A і B, то C буде містити елементи для будь-яких , тобто Тому , оскільки є верхньою гранню ідеалів A і B і втримується в будь-який верхній грані.

Тепер покажемо, що виконується рівність:

.

. Нехай , де , . , те , звідки й отже . Аналогічно, , виходить,

. Нехай ,де .

Звідси треба дистрибутивність ґрати

.

– дистрибутивні ґрати, . Тепер розглянемо ідеали, утворені цими елементами:

(

,буде нижньою границею для ). Тому , що й доводить дистрибутивність напівґрат . :

2. Стоуновий простір

Визначення: Підмножина

верхніх напівґрат називається коідеалом, якщо з нерівності треба й існує нижня границя множини , така, що .

Визначення: Ідеал

напівґрати називаються простим, якщо й множина є коідеалом.

Надалі нам буде потрібно лема Цорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.

Лема Цорна. Нехай A – множина й X – непуста підмножина множини P(A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C – ланцюг в <

>, те

. Тоді X має максимальний елемент.

Лема 2: Нехай

– довільний ідеал і

– непустий коідеал дистрибутивних верхніх напівґрат

. Якщо

, то в напівґратах

існує простий ідеал

такий, що

й

.

Доказ.

Нехай X – множина всіх ідеалів в L, що містять I і не пересічних з D. Покажемо, що X задовольняє лемі Цорна.

Нехай C – довільний ланцюг в X і

Якщо , те для деяких Нехай для визначеності . Тоді й , тому що - ідеал. Тому . Обернено, нехай , тоді , для якогось Одержуємо , звідки .

Довели, що M – ідеал, мабуть, що містить I і не пересічний з D, тобто

. По лемі Цорна X має максимальний елемент, тобто максимальним ідеалом P серед утримуючих I і не пересічних з D.

Покажемо, що P – простій. Для цього досить довести, що L&bsol;P є коідеалом. Нехай

L&bsol;P і . Оскільки , те , інакше в противному випадку по визначенню ідеалу. Отже, . Якщо , то й пересічних з D у силу максимальності P. Одержуємо й для деяких елементів . Існує елемент такий, що й , по визначенню коідеала, отже й для деяких Помітимо, що й не лежать в P, тому що в противному випадку .