Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат (стр. 5 из 6)

Далі,

, тому для деяких і . Як і колись . Крім того , тому - нижня грань елементів a і b, що не лежить в P. :

Надалі, через

будемо позначати дистрибутивні верхні напівґрати з нулем, через множину всіх простих ідеалів напівґрати .

Множини виду

представляють елементи напівґрат у ч.в. множині (тобто ). Зробимо всі такі множини відкритими в деякій топології.

Позначимо через

топологічний простір, певний на множині . Простір SpecL будемо називати стоуновим простором напівґрат L.

Лема 3: Для будь-якого ідеалу I напівґрати L покладемо:

Тоді множини виду

вичерпують всі відкриті множини в стоуновом просторі SpecL.

Доказ.

Потрібно перевірити виконання аксіом топологічного простору.

1) Розглянемо ідеал, утворений 0. Тоді

,

але 0 лежить у будь-якому ідеалі, а значить

.

2) Візьмемо довільні ідеали

й напівґрати й розглянемо

Нехай

. Тоді існують елементи a

і Звідси треба, що , де L\P – коідеал. По визначенню коідеала існує елемент d

такий, що й , виходить, . Так як. , отже, . Одержуємо, що .

Зворотне включення очевидно.

2) Нехай

- довільне сімейство ідеалів. Через позначимо множину всіх точних верхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства . Покажемо, що - ідеал. Нехай , тоді , де для деякого ідеалу . Тоді лежить в ідеалі , отже, і , тобто . Обернено очевидно.

Довели, що

- ідеал. Тепер розглянемо довільне об'єднання.

■

Лема 4: Підмножини виду

простору

можна охарактеризувати як компактні відкриті множини.

Доказ.

Дійсно, якщо сімейство відкритих множин покриває множина , тобто , те Звідси треба, що для деякої кінцевої підмножини , тому . Таким чином, множина компактно.

Нехай відкрита множина r(I) компактно, тоді й можна виділити кінцеве під покриття для деяких .

Покажемо, що I породжується елементом

.

Припустимо, що це не так, і в ідеалі I найдеться елемент b не лежачий в.

Тоді [b) – коідеал, не пересічний с. По лемі 2 найдеться простий ідеал P утримуючий і не пересічний з [b). Одержуємо, , тому що (тобто ), але , тому що , протиріччя. Отже, компактною відкритою множиною r(I) буде тільки у випадку, якщо - головний ідеал.

Пропозиція 5:Простір

є

- простором.

Доказ.

Розглянемо два різних простих ідеали

й Q. Хоча б один не втримується в іншому. Допустимо для визначеності, що . Тоді r(P) містить Q, але не містить P, тобто SpecL є - простором. :