Застосування подвійних інтегралів (стр. 2 из 3)

Далі маємо

За формулою (3)

2. У подвійному інтегралі

, де - круг, обмежений колом , перейти до полярних координат з полюсом в точці , і обчислити отриманий інтеграл.

Розв’язання

Область

зображена на рис.2.

Рівняння, які пов’язують

і полярні координати з полюсом у точці , мають вигляд , причому видно, що кут змінюється в межах від до .

Рисунок 3 - Область

Підставивши вирази для

і в рівняння кола, отримаємо , звідки або . Ці дві криві на площині при обмежують область , яка є прообразом області при відображенні. Якобіан відображення дорівнює . Підінтегральна функція у нових змінних дорівнює . За формулою (3) маємо

.

Одержаний подвійний інтеграл за областю

зводимо до повторного:

і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

1. Площа плоскої фігури. Якщо в площині

задана фігура, щомає форму обмеженої замкненої області ,то площа цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:

.

2. Об'єм тіла. Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі

і яке обмежене знизу областю площини , а зверху - поверхнею , де функція неперервна та невід'ємна в області , знаходиться за формулою (2):

3. Площа поверхні. Якщо поверхня

,задана рівнянням

(7)

проектується на площину

в область (рис.3) і функції , , неперервні в цій області, то площу поверхні знаходять за формулою

(8)

Рисунок 4 - Поверхня

Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область

на частин , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють . У кожній частині візьмемо точку ; на поверхні їй відповідатиме точка , де . Через точку проведемо дотичну площину [3]

.

На площині

виділимо ту її частину, яка проектується на площину в область . Позначимо цю частину дотичної площини через , а її площу - через . Складемо суму

. (9)

Границю

суми (9), коли найбільший з діаметрів областей прямує до нуля, назвемо площею поверхні (7), тобто за означенням покладемо

. (10)

Обчислимо цю границю. Оскільки область

, яка має площу , проектується в область з площею , то , де - кут між площинами та (рис.3), тому .

Але гострий кут

дорівнює куту між віссю і нормаллю до дотичної площини, тобто куту між векторами та . Знайдемо за формулою (4)