Застосування подвійних інтегралів (стр. 3 из 3)

.

Отже,

.

Підставляючи значення

в (10), отримуємо

.

Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області

функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Маса пластини. Нехай на площині

маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією . Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):

.

2. Центр маси пластини. Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині

має форму області , густина пластини в точці дорівнює , де - неперервна функція в області Розіб'ємо область на частини ,виберемо в кожній з них довільну точку і наближено вважатимемо, що маса частини дорівнює , де - площа області . Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці , то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати та центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями

.

Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при

. Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами

. (11)

Величини

(12)

називаються статичними моментами пластини відносно осі

та .

Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді

.

Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину

, то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти .

3. Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.

Нехай матеріальна пластина має форму області

у площині

,а неперервна функція визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область на частини , площі яких дорівнюють , і виберемо в кожній з цих частин довільну точку . Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі та відносно наближено визначатимуться за формулами

.

Перейшовши до границі в кожній із сум при

, отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:

. (13)

Знайдемо момент інерції

пластини відносно початку координат.

Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки

з масою відносно початку координат дорівнює , аналогічно отримуємо, що

. (14)