Смекни!
smekni.com

Застосування подвійних інтегралів (стр. 1 из 3)

Застосування подвійних інтегралів

Содержание

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай функція

неперервна в деякій замкненій і обмеженій області
,тоді існує інтеграл

.

Припустимо, що за допомогою формул

(1)

ми переходимо в інтегралі

до нових змінних
та
. Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити
та
:

. (2)

Згідно з формулами (2), кожній точці

ставиться у відповідність деяка точка
на координатній площині з прямокутними координатами
і
.

Нехай множина всіх точок

утворює обмежену замкнену область
. Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область

в замкнену обмежену область
і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області
неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

, (3)

а функція

неперервна в області
, то справедлива така формула заміни змінних

. (4)

Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі

за формулами (1), ми маємо елемент площі
в координатах
замінити елементом площі
в координатах
і стару область інтегрування
замінити відповідною їй областю
.

Розглянемо заміну декартових координат

полярними
за відомими формулами
. Оскільки

.

То формула (3) набирає вигляду

(4)

де область

задана в декартовій системі координат
, а
- відповідна їй область в полярній системі координат.

У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області

містить суму
, оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

.

Якщо область

(рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути
та
і кривими
та
, то полярні координати області
змінюються в межах
,
(рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

(5)

Рисунок 1 - Область: а)

; б)

подвійний інтеграл полярна координата

Якщо область

охоплює початок координат, тобто точка
є внутрішньою точкою області
, то

(6)

де

- полярне рівняння межі області
.

Приклади

1. Обчислити інтеграл

, якщо область
- паралелограм,

обмежений прямими

(рис.1, а).

Розв’язання

Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі

так і в напрямі осі
область
потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

Виконаємо таку заміну змінних:

, тоді прямі
та
в системі
переходять в прямі
та
у системі
(рис.1, б), а прямі
та
відповідно в прямі
та
.

Таким чином, область

(паралелограм) переходить у системі
в прямокутник
.

Рисунок 2 - Область: а)

; б)