Застосування подвійних інтегралів (стр. 1 из 3)

Застосування подвійних інтегралів

Содержание

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай функція

неперервна в деякій замкненій і обмеженій області ,тоді існує інтеграл

.

Припустимо, що за допомогою формул

(1)

ми переходимо в інтегралі

до нових змінних та . Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити та :

. (2)

Згідно з формулами (2), кожній точці

ставиться у відповідність деяка точка на координатній площині з прямокутними координатами і .

Нехай множина всіх точок

утворює обмежену замкнену область . Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область

в замкнену обмежену область

і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області

неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

, (3)

а функція

неперервна в області

, то справедлива така формула заміни змінних

. (4)

Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі

за формулами (1), ми маємо елемент площі в координатах замінити елементом площі в координатах і стару область інтегрування замінити відповідною їй областю .

Розглянемо заміну декартових координат

полярними за відомими формулами . Оскільки

.

То формула (3) набирає вигляду

(4)

де область

задана в декартовій системі координат , а - відповідна їй область в полярній системі координат.

У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області

містить суму , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

.

Якщо область

(рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути та і кривими та , то полярні координати області змінюються в межах , (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

(5)

Рисунок 1 - Область: а)

; б)

подвійний інтеграл полярна координата

Якщо область

охоплює початок координат, тобто точка є внутрішньою точкою області , то

(6)

де

- полярне рівняння межі області .

Приклади

1. Обчислити інтеграл

, якщо область - паралелограм,

обмежений прямими

(рис.1, а).

Розв’язання

Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі

так і в напрямі осі область потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

Виконаємо таку заміну змінних:

, тоді прямі та в системі переходять в прямі та у системі (рис.1, б), а прямі та відповідно в прямі та .

Таким чином, область

(паралелограм) переходить у системі в прямокутник .

Рисунок 2 - Область: а)

; б)