Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра (стр. 2 из 7)

Тогда ее преобразование Лапласа

есть функция, регулярная в полуплоскости .

Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть

. Тогда

.

Так как

сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (4) сходится равномерно по при и функция регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольности функция регулярна при .

Преобразованием Фурье функции

определенной на действительной оси, называется функция

(6)

Теорема 4. [7, c.113] Пусть функция

непрерывна при и удовлетворяет оценкам

, (7)

где

. Тогда ее преобразование Фурье есть функция, регулярная в полосе .

Доказательство. Разобьем интеграл (6) на два интеграла:

.

В силу условия (7) и теоремы 3 функция

регулярна в полуплоскости , а функция - в полуплоскости , что и доказывает теорему.

В частности, если функция

финитна, т.е. при , и непрерывна при , то ее преобразование Фурье является целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку в этом случае

.

Преобразованием Меллина функции

, определенной на полуоси , называется функция

(8)

Здесь

.

Теорема 5. [7, c.114] Пусть функция

непрерывна при и удовлетворяет оценкам:

, (9)

где

. Тогда ее преобразование Меллина является функцией, регулярной в полосе .

Доказательство. Разобьем интеграл (8) на два интеграла

.

Пусть

, и ; тогда

.

Так как

сходится при , то, по признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно по при . В силу следствия 2 функция регулярна в полуплоскости .

Далее, при

, и имеем

Из сходимости интеграла

и следствия 1 вытекает, что функция регулярна в полуплоскости .

Преобразования Фурье и Меллина связаны следующим соотношением:

, (10)

где

- преобразование Меллина, а - преобразование Фурье функции . Действительно, делая замену переменной , получаем

(мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10).

В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4.

2. Интеграл коши на кривой

(11)

Интеграл называется интегралом типа Коши. Исследуем его аналитические свойства в предположении, что функция

непрерывна на кривой .

1. Пусть

- конечная кривая. Тогда дополнение к состоит из конечного или бесконечного числа областей. В каждой из этих областей интеграл типа Коши является регулярной функцией в силу теоремы 1.Однако эти регулярные функции, вообще говоря, различны, т.е. не являются аналитическими продолжениями друг друга. Например,

Покажем, что функция, представленная интегралом (11) регулярна в бесконечно удаленной точке. Делая замену

и полагая , получаем

.

Так как

- конечная кривая, то знаменатель при достаточно малых и функция регулярна в точке в силу теоремы 1.

2. Пусть

- бесконечная кривая. Ограничимся, для простоты случаем, когда - вещественная ось; тогда

(12)

Пусть функция

удовлетворяет оценке

(13)

Покажем, что тогда формула (12) определяет две функции

, которые регулярны в полуплоскостях , соответственно. Воспользуемся следствием 1.Рассмотрим случай . Пусть лежит в полуполосе : , где , . При вещественных и при имеем , если . Следовательно,