Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра (стр. 1 из 7)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский государственный педагогический университет

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Пермь 2010

Оглавление

Введение

1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра

2. Интеграл коши на кривой

3. Интеграл коши на области

3.1 Аналитическая зависимость от параметра

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

3.3 Вывод формулы Коши

3.2 Следствия из формулы Коши

Заключение

Список литературы

Введение

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Так как целью моей прошлой курсовой работы являлось изучение некоторых аспектов темы, таких как интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Цель данной курсовой работы является изучение новых аспектов по теме «интегралы, зависящие от параметров» и накопление материалов для следующих работ по данной тематике.

В данной курсовой работе я рассмотрел интегралы Коши по кривой

и интегралы Коши по плоскости , также была рассмотрена аналитическая функция, аналитическая зависимость от параметра.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

· Найти и изучить литературу по данной теме

· Накопить и систематизировать полученную информацию по теме

· Изучить основные понятия.

Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.

В работе использованы следующие методы исследования:

1. Анализ научной литературы по теме «интегралы, зависящие от параметров»

2. Синтез полученных знаний

3. Обобщение полученных знаний

Работа насчитывает 26 страницы, состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 10 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 2 иллюстрации.

1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра

Рассмотрим интеграл

.(1)

Теорема 1. [7, c. 111] Пусть выполнены условия:

1)

- конечная кусочно-гладкая кривая;

2) функция

непрерывна по при , где - область в комплексной плоскости;

3) при каждом фиксированном

функция регулярна по в области .

Тогда интеграл (1) есть регулярная в области

функция.

Доказательство. В силу условий 1, 2 функция

непрерывна в области . Возьмем произвольную точку и построим круг , который содержит точку и лежит внутри . Применим теорему Морера. Пусть - замкнутая кривая, лежащая в круге . Тогда

,(2)

так как порядок интегрирования можно переставить, а интеграл по

равен нулю (интегральная теорема Коши). По теореме Морера функция регулярна в круге ; следовательно, регулярна в области .

Следствие 1. Пусть

- неограниченная кусочно-гладкая кривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:

4) интеграл (1) сходится равномерно по

, где - любая замкнутая подобласть области .

Тогда функция

регулярна в области .

Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены, но функция

может имеет особенности в концах кривой . Если функция непрерывна по при , не принадлежит концам и выполнено условие 4, то функция регулярна в области .

Доказательство следствий 1 и 2 проводится точно также, как и в теореме 1; интегралы в (2) можно переставлять в силу равномерной сходимости интеграла (1).

Теорема 2. [7, c.112] Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

.(3)

Доказательство. Пусть

- круг , лежащий в области и - его граница. Тогда при имеем

Перестановка порядка интегрирования возможна в силу непрерывности подынтегральной функции и конечности кривых

.

Замечание. Теорема 2 остается в силе, если выполнены условия следствия 1 или 2, и интеграл (3) сходится равномерно по

, где - любая замкнутая подобласть области .

Аналитические свойства интегральных преобразований.

Наиболее употребляемыми в математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье и Меллинга.

Пусть функция

определена на полуоси . Ее преобразованием Лапласа называется функция

.(4)

Теорема 3. [7, c.113] Пусть функция

непрерывна при и удовлетворяет оценке

(5)