Математичні методи представлення знань (стр. 2 из 2)

.

Нехай деяка функціяf(x) задана в вузлах інтерполяції:

(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень:

.

Потрібно знайти значення інтегралу

.

Спершу складемо інтерполяційний багаточлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний багаточлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним багаточленом Лагранжа:

Поміняємо знак підсумовування і інтеграл і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтеграції, маємо:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(b-a)/n. Представивши цей вираз для h у формулу (4) і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа

називають коефіцієнтами Ньютона-Kотеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки по n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Остаточна формула виглядає так:

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Котеса взяти n = 3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним багаточленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратурну формулу:

де

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення :

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно.

B) заданий інтеграл обчислити наближено.

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.

2.

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.

Варіант 10

1.

2.

3.

Рекомендована література:

1. Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с.

2. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.

3. Анджейчак І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с.

4. Дудикевич А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с.

5. Паранчук Я.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення в пакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р. Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.