Метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений (стр. 2 из 2)
f =
0.3000
0.5000
0.7000
0.9000
0.6000
e =
1.0e-015 *
0.0555
0.2220
-0.1110
-0.3331
0
x =
-1.6362
-0.1885
0.9761
1.6642
0.7358
e1 =
1.0e-015 *
0 0.0555 0.2220 0.3331
e2 =
1.0e-015 *
0 0.0555 0.2289 0.4191
Построенные графики для оценки точности решения:
Для E1=max |Ei|,
Для
Как видим из решения, выданного программой, а также из графиков, ошибка растет с увеличением мерности матрицы А, а точность решения, как следствие уменьшается.
Теперь исследуем влияние разреженности матрицы А на точность решения. Для этого немного модифицируем программу, использованную для исследования влияния мерности матрицы А на точность решения: изменим в ней СЛАУ для решения. На каждом шаге будем увеличивать количество нулевых элементов в матрице.
Текст программы:
e1=0;
e2=0;
a=[1 0.42 .54 .66 .53;.42 1 .32 .44 .45; .54 .32 1 .22 .41; .66 .44 .22 1 .25; .53 .45 .41 .25 1;]
f=[0.3;0.5;.7;.9;.6]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=max(abs(e))
e2=sqrt(sum(power(e,2)))
a=[1 0 .54 0 .53;0 1 .32 .44 .45; .54 .32 1 .22 .41; 0 .44 .22 1 .25; .53 .45 .41 .25 1;]
f=[0.3;0.5;.7;.9;.6]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=[e1 max(abs(e))]
e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]
a=[1 0 .54 0 .53;0 1 .32 .44 .45; .54 .32 1 .22 .41; 0 .44 .22 1 0; .53 .45 .41 0 1;]
f=[0.3;0.5;.7;.9;.6]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=[e1 max(abs(e))]
e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]
a=[1 0 .54 0 0;0 1 0 .44 .45; .54 0 1 .22 0; 0 .44 .22 1 0; 0 .45 0 0 1;]
f=[0.3;0.5;.7;.9;.6]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=[e1 max(abs(e))]
e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]
mernost=[2 3 4 5];
plot(mernost,e1);
pause;
plot(mernost,e2);
pause
Результат работы программы:
a =
1.0000 0.4200 0.5400 0.6600 0.5300
0.4200 1.0000 0.3200 0.4400 0.4500
0.5400 0.3200 1.0000 0.2200 0.4100
0.6600 0.4400 0.2200 1.0000 0.2500
0.5300 0.4500 0.4100 0.2500 1.0000
f =
0.3000
0.5000
0.7000
0.9000
0.6000
e =
1.0e-015 *
0.0555
0.2220
-0.1110
-0.3331
0
x =
-1.6362
-0.1885
0.9761
1.6642
0.7358
e1 =
3.3307e-016
e2 =
4.1910e-016
a =
1.0000 0 0.5400 0 0.5300
0 1.0000 0.3200 0.4400 0.4500
0.5400 0.3200 1.0000 0.2200 0.4100
0 0.4400 0.2200 1.0000 0.2500
0.5300 0.4500 0.4100 0.2500 1.0000
f =
0.3000
0.5000
0.7000
0.9000
0.6000
e =
1.0e-015 *
0.0555
0.1110
0.2220
0.1110
0.1110
x =
-0.1810
-0.1718
0.5355
0.7673
0.3618
e1 =
1.0e-015 *
0.3331 0.2220
e2 =
1.0e-015 *
0.4191 0.2989
a =
1.0000 0 0.5400 0 0.5300
0 1.0000 0.3200 0.4400 0.4500
0.5400 0.3200 1.0000 0.2200 0.4100
0 0.4400 0.2200 1.0000 0
0.5300 0.4500 0.4100 0 1.0000
f =
0.3000
0.5000
0.7000
0.9000
0.6000
e =
1.0e-015 *
-0.0555
-0.0555
0
0.1110
0
x =
-0.4156
-0.4724
0.5213
0.9932
0.8192
e1 =
1.0e-015 *
0.3331 0.2220 0.1110
e2 =
1.0e-015 *
0.4191 0.2989 0.1360
a =
1.0000 0 0.5400 0 0
0 1.0000 0 0.4400 0.4500
0.5400 0 1.0000 0.2200 0
0 0.4400 0.2200 1.0000 0
0 0.4500 0 0 1.0000
f =
0.3000
0.5000
0.7000
0.9000
0.6000
e =
1.0e-015 *
0
0
0
0
-0.1110
x =
0.0374
-0.1969
0.4863
0.8797
0.6886
e1 =
1.0e-015 *
0.3331 0.2220 0.1110 0.1110
e2 =
1.0e-015 *
0.4191 0.2989 0.1360 0.1110
ДляE1=max |Ei|,
Для
Как видим из решения и графиков, величина ошибок уменьшается, а точность найденного решения увеличивается с увеличением количества нулевых элементов в матрице А. Это связано с тем, что увеличение числа нулевых элементов постепенно уменьшает число ненулевых элементов задействованных в вычислениях.
Теперь исследуем влияние обусловленности матрицы А на точность получаемого решения. Для этого в третий раз модифицируем нашу программу. Теперь мы будем брать обусловленные матрицы, с каждым шагом увеличивая их размерность.
Текст программы:
e1=0;
e2=0;
a=[500 501;501 500]
f=[15000;16000]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=max(abs(e))
e2=sqrt(sum(power(e,2)))
a=[500 501 -503;501 500 499;-503 499 500]
f=[15000;16000;18000]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=[e1 max(abs(e))]
e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]
a=[500 501 -503 500;501 500 499 -501;-503 499 500 502;500 -501 502 500]
f=[15000;16000;18000;16000]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=[e1 max(abs(e))]
e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]
a=[500 501 -503 500 499;501 500 499 -501 500;-503 499 500 502 -501;500 -501 502 500 -500; 499 500 -501 -500 500]
f=[15000;16000;18000;16000;17000]
[e,x]=mkk(a,f)
e1=[e1 max(abs(e))]
e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]
mernost=[2 3 4 5];
plot(mernost,e1);
pause;
plot(mernost,e2);
pause
Результат работы программы:
>> head5
a =
500 501
501 500
f =
15000
16000
e =
1.0e-010 *
-0.2910
0.5821
x =
515.4845
-484.5155
e1 =
5.8208e-011
e2 =
6.5078e-011
a =
500 501 -503
501 500 499
-503 499 500
f =
15000
16000
18000
e =
1.0e-010 *
0.0182
0.0364
0.1455
x =
-2.0239
32.9970
1.0330
e1 =
1.0e-010 *
0.5821 0.1455
e2 =
1.0e-010 *
0.6508 0.1511
a =
500 501 -503 500
501 500 499 -501
-503 499 500 502
500 -501 502 500
f =
15000
16000
18000
16000
e =
1.0e-008 *
0
0
-0.1120
0.0997
x =
14.5050
16.5505
17.4961
16.5125
e1 =
1.0e-008 *
0.0058 0.0015 0.1120
e2 =
1.0e-008 *
0.0065 0.0015 0.1500
a =
500 501 -503 500 499
501 500 499 -501 500
-503 499 500 502 -501
500 -501 502 500 -500
499 500 -501 -500 500
f =
15000
16000
18000
16000
17000
e =
1.0e-010 *
-0.0364
0.0364
0.8367
-0.9459
0.1091
x =
33.0693
35.1332
-1.0682
-2.1077
-37.3144
e1 =
1.0e-008 *
0.0058 0.0015 0.1120 0.0095
e2 =
1.0e-008 *
0.0065 0.0015 0.1500 0.0127
ДляE1=max |Ei|,
Для
В целом обусловленность матрицы А дает высокую точность решения, но по выбранным в данной работе системам трудно судить о влиянии мерности обусловленной матрицы А на точность решения.
4. Анализ результатов. Выводы
По исследованию можно сказать следующее. Точность решения СЛАУ методом квадратных корней для симметричной матрицы зависит от многих параметров, как то: мерность матрицы А, разреженность матрицы А, обусловленность матрицы А. Точность зависит от этих параметров как по отдельности, так и в комбинации. Можно также сказать, что точность решения сильно зависит от количества округлений во время решения и, как следствие собственно количества вычислений, которые необходимо произвести, чтобы решить СЛАУ методом квадратных корней. Было отмечено на этапе отладки программы, что, чем ближе корни системы к целым числам, тем меньше ошибка, тем выше точность.
В данной курсовой работе был исследован метод квадратных корней для симметричной матрицы - один из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Этим методом можно решать системы вида Ax = f, в которых матрица A – симметричная.
Также в данной работе были проанализированы разного рода параметры матрицы А: мерность, обусловленность, разряженность, и их влияние на точность полученного решения. В целом метод дает достаточно точные решения и может быть использован при поиске состояний равновесия в экономических моделях.
Список использованной литературы
1. Волков Е.А., Численные методы.- М.: «Наука», 1982.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука,1978.
3. Сарычева О.М. Численные методы в экономике / О.М.Сарычева.-Новосибирск, 1995.- 67 стр.