Теоремы Силова (стр. 3 из 4)

Одновременно мы видим, что силовская p-подгруппа в

изоморфна последовательному сплетению (…( циклической группы с самой собою mраз.

Теперь пусть n произвольно. Разобьём символы 1,...,n на

одноэлементных, р-элементных и т.д. отрезков. На каждом из этих отрезков рассмотрим симметрическую группу – она будет некоторой степени , а в ней возьмём силовскую p-подгруппу, построенную как выше. Так как эти подгруппы действуют на непересекающихся множествах, то их порождение является их прямым произведением, а потому имеет порядок

Следовательно,

- силовская p-подгруппа в . Из построения видно, что она изоморфна прямому произведению нескольких последовательных сплетений типа (…( .

Пример 3

Рассмотрим общие линейные группы над конечными полями. Пусть p – простое число, m, n – целые числа

и . Покажем, что - силовская p-подгруппа группы . Посчитаем порядки этих групп.

Какие n-ки над полем

могут быть первой строкой невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме нулевой, т. е. штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно взять любую, не пропорциональную первой; таких строк . Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух; это дает возможностей. И так далее. Значит, .

Так как угловые элементы матриц

пробегают независимо друг от друга всё поле, а всего угловых мест , то . Из сравнения порядков мы видим, что - силовская p-подгруппа группы .

Нахождение силовской подгруппы.

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМ СИЛОВА

Задача 1.

Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.

Решение

, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.

Задача 2

Найти силовские р-подгруппы в группе всех матриц

с определителем 1 над полем из р элементов.

Решение.

Пусть

- группа с определителем 1 над полем из р элементов. Из разложения

полной линейной группы

в смежные классы по следует, что

(1)

Рассматривая

как группу автоморфизмов двумерного векторного пространства V над , легко найти порядок . Действительно, действует на множестве пар базисных векторов. Образом может быть любой отличный от нуля вектор (их всего штук), а при всяком выборе образом может быть любой вектор из (таких векторов имеется штук). Стало быть, , что в сочетании с (1) приводит к формуле

По крайней мере две силовские р-подгруппы группы

мы находим сразу:

, .

В соответствии с теоремой 3 имеем

а так как

и, следовательно, нормализатор

содержит подгруппу

порядка p(p-1), то остаётся единственная возможность

.

Между группой

и симметрической группой

непосредственно устанавливается изоморфизм