Теоремы Силова (стр. 4 из 4)

(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями). При p>2 группа

имеет центр порядка 2. Фактор- группа , которую естественно называть проективной специальной группой(она является группой преобразований проективной прямой ) , играет важную роль в алгебре со времён Галуа. Дело в том, что при p>3 группа простая, и это, наряду с ,- один из самых ранних примеров конечных простых групп.

Задача 3

Описать с помощью теоремы Силова все возможные типы групп порядка pq.

Решение

Пусть р, q — простые числа, р < q. Какой должна быть группа G порядка pq? Силовские р- и д-подгруппы из G, будучи подгруппами простого порядка, являются циклическими. Пусть (а), (b) — соответственно силовские р- и q-подгруппа. По теореме Силова число силовских q-подгрупп в G имеет вид 1+kq и делит pq, поэтому силовская q-подгруппа (b) единственна. В частности, она нормальна в G. Число силовских р-подгрупп имеет вид 1+кр и делит q, поэтому возможны два случая:

а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она нормальна и, значит,

. Так как , то . Таким образом, в этом случае .

б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это возможно лишь при условии

. Пусть . Если r=1, то снова ,т. е. . Пусть . Индукцией по х получаем , откуда для всех целых х, у. При х=р, у=1 это дает , кроме того, получаем формулу умножения .

Обратно, легко проверить, что если

, , , то эта формула умножения определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, решения сравнения составляют циклическую группу порядка р, поэтому те из них, которые , имеют вид , где r — одно из них. Все эти решения определяют одну и ту же группу, так как замена порождающего а на приводит к замене r на .

Таким образом, с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq; их оказалось два — абелев и неабелев, причем второй существует только при условии

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При изучении абелевых групп видно, что их строение во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные р-подгруппы также играют существенную роль. В этом курсовой были доказаны теоремы Силова о конечных группах: для каждой степени

, делящей порядок группы, существует подгруппа порядка , причем если делит порядок группы, то всякая подгруппа порядка содержится в некоторой подгруппе порядка ; все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены в группе, а их число сравнимо с 1 по модулю р. Эта теорема была доказана норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году. В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами.

Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силовские р-подгруппы конечной группы — это в точности подгруппы порядка

, где — максимальная степень р, делящая порядок группы. Отметим, что если число m делит порядок конечной группы G, но не является степенью простого числа, то в G может и не быть подгрупп порядка m — например, в знакопеременной группе А4 порядка 12 нет подгрупп порядка 6.

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.

2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.

3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М.:Наука, 1982.