Некоторые замечательные кривые (стр. 2 из 3)

Когда точка N, исходя из O, описывает окружность A против часовой стрелки, точка M₁ описывает траекторию LOCABOI.

3.3 Особенности формы

Точка O – узловая. Касательные, проходящие через O, совпадают с осями координат. Прямая OA (

) есть ось симметрии. Точка , наиболее удаленная от узловой точки, называется вершиной (коэффициент выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что ). Прямая UV ( ) – асимптота обеих бесконечных ветвей.

3.4 Задача

Написать уравнение декартова листа в прямоугольной системе координат и, приняв точку O за полюс, в полярной системе координат.

Решение:

Уравнение в прямоугольной системе:

.

Уравнение в полярной системе (OX – полярная ось):

.

4. Улитка Паскаля

4.1 Определение и построение

Даны: Точка O (полюс), окружность K диаметра OB=a (рис.6), проходящая через полюс (основная окружность; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок

. Из полюса O проводим произвольную прямую OP. От точки P, где прямая OP вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от P отрезки . Геометрическое место точек M₁, M₂ (жирная линия на рис.6) называется улиткой Паскаля – в честь Этьена Паскаля (1588 – 1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля (1623 – 1662).

4.2 Исторические сведения

Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалем, современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды.

4.3 Особенности формы

Улитка Паскаля симметрична относительно прямой OB. Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке O (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A, C (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками

и .

1) Когда

(линия 1 жирная; для неё ) улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке O

,

Образуя две петли: внешнюю OHA₁GO и внутреннюю OH^'C₁G^'O. Угловой коэффициент касательных OD, OE в узловой точке:

.

Для построения касательных достаточно провести хорд OD, OE длины l в окружности K. Наиболее удаленным от оси точкам G, H внешней петли отвечает значение

;

Наиболее удаленным точкам G^', H^' внутренней петли – значение

.

Соответствующее полярное значение полярного радиуса:

.

2) Когда

(линия 2 на рис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча OX сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам L, M отвечают значения

.

Линия 2 называется кардиоидой, т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.). Она изображена отдельно на рис.7

3) Когда

(линия 3; для неё ), улитка Паскаля – замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L^', N^' отвечает значение . Лишившись точки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба R, Q, которым отвечает значение . Угол ROQ , под которым отрезок RQ виден из полюса, по мере возрастания сначала возрастает от нуля до ; этому значению соответствует . При дальнейшем увеличении угол ROQ убывает, стремясь к нулю при .

4) При

точки перегиба, сливаясь с вершиной C пропадают (причем кривизна в точке C становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях

(линия 4; для нее

). Наиболее удаленным от оси точкам L^'', N^'' отвечает значение

.

4.4 Свойства нормали

Нормаль улитки Паскаля в ее точке M (рис.7) проходит через точку N основной окружности K, диаметрально противоположную той точке P, где OM пересекается с основной окружностью.

4.5 Построение касательной

Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке M, соежиняем последнюю с полюсом O. Точку N основной окрудности K, диаметрально противополжную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке. Проводя MT

MN, получим искомую касательную.

4.6 Задача

Дана улитка Паскаля с полюсом в точке O. Написать уравнения в прямоугольной и полярной системах координат.

Решение:

Пусть начало координат – в полюсе O, ось OX направлена по лучу OB. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат будет иметь вид:

. (1)

Строго говоря, это уравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса O, который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4 на рис.6).

Уравнение в полярной системе (O – полюс, OX – полярная ось):

, (2)

где

меняется от какого-либо значения до .

5. Лемниската Бернулли

5.1 Определение

Лемниската есть геометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них до концов данно отрещка

равно . Точки F₁, F₂ называются фокусами лемнискаты; прямая F₁F₂ – ее осью.

5.2 Исторические сведения

В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением

. Он отмечает сходство этой линии (рис.8) с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на n равных дуг при условии, что или или , где m – любое целое положительное число.