Некоторые замечательные кривые (стр. 3 из 3)
Лемниската есть частный вид линии Кассини. Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули была уставновлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).
5.3 Построение
Можно применять общий способ построя линия Кассини, но нижеизложенный способ (К. Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис.) окружность радиуса
с центром в точке F1 (или F2). Проводим произвольную секущую OPQ и откладываем на этой прямой в обе стороны от точки O отрезки OM и OM1, равные хорде PQ. Точка M опишет одну из петель лемнискаты, точка M1 – другую.5.4 Особенности формы
Лемниската имеет две оси симметрии: прямую F1F2 (OX) и прямую OY
OX. Точка O – узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью OX углы 
. Точки A1,A2 лемнискаты, наиболее удаленные от узла O (вершины лемнискаты), лежат на оси F1F2 на расстоянии 
от узла.5.5 Свойства нормали.
Подяоный радиус OM лемнискаты образует с нормалью MN угол
, вдвое больше полярного угла 
: 
.Другими словами: угол
между осью OX и вектором NN' внешней нормали лемнискаты в точке M равен утроенному полярному углу точки M: 
.5.6 Построение касательной
Чтобы построить касательную к лемнискате в ее точке M, проводим полярный радиус OM и строим
. Перпендикуляр MT к прямой MN есть искомая касательная.5.7 Задача
Написать уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат (O – серидина отрезка F1F2) и в полярной системе координат (O – полюс).
Решение:
Пусть точка O – начало координат ; ось OX направлена по F1F2. Тогда Уравнение в прямоугольной системе координат:
.Если O – полюс, OX – полярная ось, то уравнение в полярной системе:
.Угол
изменяется в промежутках 
и 
.Заключение
В данной работе мы рассмотрели некоторые замечательные кривые, изучили их способы построения, особенности формы и задачи, связанные с этими кривыми.
В параграфе 1 была рассмотрена строфоида, особенности её формы, стереометрическое образование и исторические сведения.
Во 2-м параграфе мы изучили циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.
В параграфе 3 узнали метод построения, особенности формы и исторические сведения о кривой, называемой «Декартов лист».
В 4-м параграфе рассмотрели улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы, свойства нормали и построение касательной.
В параграфе 5 была изучена лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения, особенности формы, свойства нормали и построение касательной.
А также при помощи задач узнали формулы кривых в прямоугольной декартовой и полярной системах координат.
Используемая литература:
1. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с ил.
2. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике, М.: АСТ: Астрель, 2008, 991 стр. с ил.
3. Атанасян Л.С. и Атанасян В.А., Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I, М., "Просвещение", 1973, 256 с.
4. Гурова А.Э. Замечательные кривые вокруг нас. М, 1989
5. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. - М, 1978
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Строфоида
7. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли
8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля