Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 11 из 15)
Рис. 1.3.10
Таким образом, наибольшая из всех содержащихся в Ф окружностей должна содержать либо две граничные точки Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками окружности (рис. 1.3.11, а),либо три такие граничные точки Ф, что никакая из дуг окружности между какими-либо двумя из этих трех точек не больше полуокружности, т. е. три точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника (рис. 1.3.11,б). [8, 249]
Отсюда нетрудно вывести, что радиус r вписанной окружности выпуклой фигуры Ф ширины 1 заключается в указанных в условии задачи пределах. Прежде всего, так как окружность S заключается внутри Ф, а следовательно, и внутри каждой полосы, образованной парой параллельных опорных прямых фигуры Ф, то диаметр S не может быть больше 1 и, следовательно, радиус r окружности S не может быть больше
. Таким образом, требуется доказать только, что r не может быть меньше 
.
Рис 1.3.11
Если вписанная в выпуклую фигуру Ф окружность S соприкасается с границей Ф в точке А, то опорная прямая фигуры Ф, проходящая через точку А,должна быть одновременно и опорной прямой окружности S. Но так как через граничную точку окружности можно провести только единственную опорную прямую, то отсюда следует, что фигура Ф может иметь в точке А единственную опорную прямую, совпадающую с касательной к окружности S (т. е. точка А не может быть угловой точкой фигуры Ф). Отсюда прежде всего вытекает, что если вписанная в Ф окружность S содержит две граничные точки А и В фигуры Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками S, то радиус Sравен половине расстояния между параллельными опорными прямыми фигуры Ф, проведенными в точках А и В,и не может быть меньше
, следовательно, в этом случае обязательно r= (рис. 1.3.11, а).Если же вписанная окружность S фигуры Ф содержит три граничные точки А, В, С фигуры Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника, то опорные прямые фигуры Ф, проведенные в точках А, В, С,образуют некоторый треугольник А’В’С’,описанный одновременно вокруг Ф и вокруг окружности S (рис. 1.3.11, б).Обозначим стороны этого треугольника через а,b, с (а — наибольшая сторона), а соответствующие высоты — через ha,hb,hc.
Площадь треугольника А’В’С’ равна, с одной стороны,
r, а с другой, 
.Так как, а 
b, а с,то из равенства:
r= 
следует:
ha= 
r 
3r,
r
.Но высота
треугольника А’В’С’,описанного вокруг фигуры Ф, не может быть меньше ширины Ф (см. рис. 1.3.11, б); отсюда следует, чтоr ,что и требовалось доказать.В том случае, когда вписанная в выпуклую фигуру Ф окружность Sсодержит три граничные точки Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника, существует треугольник А’В’С’,описанный одновременно вокруг Ф и вокруг S. Отсюда следует, что в этом случае вписанная окружность S является единственной — всякая другая окружность, содержащаяся внутри Ф, должна также содержаться внутри треугольника А’В’С’и, следовательно, будет меньше, чем окружность S, вписанная в треугольник А’В’С’.Однако, если вписанная окружность соприкасается с границей Ф в двух диаметрально противоположных точках, то она может быть и не единственной (см. рис. 1.3.1). [8, 250]
Задача №1.3.3
Прежде всего отметим, что в силу результата задачи 1.3.2 радиус r круга S, вписанного в фигуру Ф ширины 1, не больше
и не меньше . При этом если r= , то площадь фигуры Ф не меньше 
=0,78..., что больше площади равностороннего треугольника высоты 1, равной 
= 0,57... Если же r = , то Ф есть равносторонний треугольник высоты 1.Пусть теперь радиус вписанного круга S фигуры Ф равен r(
r< ) тогда существует треугольник Т,описанный одновременно вокруг Ф и вокруг S(см. решение задачи 1.3.2, рис. 1.3.11, б). Проведем еще три опорные прямые фигуры Ф, соответственно параллельные сторонам треугольника Т;точки соприкосновении этих опорных прямых с границей фигуры Ф (какие-нибудь из точек соприкосновения, если эти прямые содержат целые отрезки, принадлежащие границе Ф) обозначим через А’, В’, С’ (рис. 1.3.12). Центр круга S обозначим через О. Так как расстояние между парой параллельных опорных прямых фигуры Ф не может быть меньше 1, а точка О отстоит от каждой из сторон треугольника на расстояние r, то расстояние от точек А’, В’, С’ до точки О не меньше 1 — r.На отрезках ОА’, ОВ’, ОС’ отметим точки А, В, С,удаленные от О на расстояние 1 — r.Проведя из точек А, В, С касательные к кругу S, мы получим фигуру Фr,состоящую из круга радиуса rи трех равных между собой частей, ограниченных кругом и двумя касательными круга (см. рис. 1.3.12); эта фигура заключается внутри нашей фигуры Ф. Если r= , то Фr = Ф 
представляет собой равносторонний треугольник с высотой 1. [8, 256]Достаточно доказать, что из всех фигур Фr (
r< ) соответствующих разным значениям r наименьшую площадь имеет равносторонний треугольник Ф .На рис. 1.3.13 изображены равносторонний треугольник РQRи фигура Фr(
<r< ). 
Нетрудно видеть, что общая площадь частей равностороннего треугольника, выходящих за пределы фигуры Фr,меньше площади частей фигуры Фrрасположенных вне треугольника Ф . Части треугольника, расположенные вне Фr,состоят из шести треугольников таких, как треугольник АPD,заштрихованный на рис. 1.3.13. Пусть М — середина стороны РRтреугольника РQR.Проведем из точки М отрезок МN,равный и параллельный РА.Точка N будет находиться внутри круга, составляющего часть фигуры Фr,так как наименьшее расстояние от точки М до окружности (расстояние по перпендикуляру к РR)равно, как нетрудно видеть, РА (это можно вывести из того, что наибольшее расстояние от точки А до окружности равно 1, как и высота треугольника). Соединим N с А;пусть NА пересекает РR в точке Е.
Треугольник МNЕ равен треугольнику ЕАР,а треугольник DАР составляет лишь часть ЕАР.Таким образом, мы можем перенести треугольник DАР внутрь МNЕ,т. е. внутрь Фr(новое положение треугольника DАР тоже заштриховано на рис. 1.3.13). Перенеся таким же образом все шесть треугольников, таких, как DАР,внутрь Фr,мы убедимся, что равносторонний треугольник Ф имеет меньшую площадь, чем фигура Фr.Этим и завершается доказательство. [8, 257]