Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 14 из 15)

Положим

FMN= FNM= , TMN= , PNM= , NPT= , PTM= , FO MN.

Найдем периметр pпятиугольника MPFTN.

Из

FMO:

MO= cos

, MN=2 cos .

Из треугольников

NPF и MFT имеем:

PF=

,

FT=

.

Из треугольника

РМТ и ТNР по теореме косинусов имеем:

PM=

,

ТN=

.

Таким образом периметр р пятиугольника MPFTN равен:

р=2cos

+ + + + .

Рассмотрим сначала случай, когда с=1, т.е. все диагонали пятиугольника MPFTN равны 1.

В этом случае:

p=2 cos

+ + + + =

=2 cos

+ + +2sin +2sin =

=2cos

+4 sin +4sin

2cos +4 sin +4sin =2cos +4 sin +4sin =

=2cos

+8sin cos 2cos +8sin , (т.к. ).

Исследуемфункцию

g (

)= 2cos +8sin .

g’(

)= (2cos +8sin )’= - 2sin +2cos =

.

Так как

2cos

<1 , то cos < , >60 .

Значит 60

< <90 , и мы получаем, что 67,5 < +45 <78,75 .

Последнее неравенство означает, что (

+45 ) - угол первой четверти, т.е. cos( +45 )>0.

sin

Поэтому

p

2cos +8sin 2cos72 +8sin18

Таким образом, в случае с=1 периметр пятиугольника не превосходит периметра правильного пятиугольника.

Рассмотрим теперь случай, когда с<1.

Проведем эллипсы через точки Р и Т с фокусами соответственно в точках F, Mи F, N. Пусть хотя бы один эллипс пересекает соответствующую дугу

или (рис. 2.2.1). Пусть, например, эллипс проведенный через точку Т пересекает дугу . Тогда сместив вершину Т в близкую точку Т’ дуги FT, мы получим пятиугольник большего периметра.

Остается, следовательно, проверить случай, когда оба эллипса касаются соответствующих дуг. Но из геометрических соображений ясно, что существует не более одной точки дуги

, в которой соответствующий эллипс касается этой дуги (рис. 2.2.2). Тем же свойством обладает симметричная точка дуги . Поэтому, если оба эллипса касаются соответствующих дуг, то . Оценим периметр пятиугольника в этом случае.

Рис. 2.2.2

Заметим сначала (рис. 2.2.3), что в виду

имеем, что PT||MN , откуда и . Проведем NT’ || MT, тогда