Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 15 из 15)
c=PT=PT’-TT’=PT’-MN=2cos
-2cos 
. 
Из
MPT:PM
= 
= (2cos -2cos ) +1-2(2cos -2cos ) cos ==
=
= 1- 2ccos
, то естьPM=
=NT.Тогда периметр p пятиугольникаMPFTN равен:
p=2
+4sin 
.Докажем неравенство
.Имеем:
1-2c cos
-4sin 
=1-2c cos -2(1-cos )=1-2c cos -2(1-( 
))==1-2c cos
-2+c+2cos =-1+c+2cos (1-c)=( 1- c)(-1+2cos )<0,т.к. c<1, (1- c)>0 и 2cos
-1<0, >60 
.Таким образом:
1-2ccos
<4sin т.е. .Отсюда имеем:
Иначе говоря, периметр пятиугольника MPFTN в этом случае меньше периметра правильного пятиугольника.
Таким образом, оптимальным пятиугольником является правильный пятиугольник.
Теорема доказана.
Заключение
Экстремальные задачи — задачи на максимум и минимум — во все времена привлекали внимание учёных. Причина такого интереса заключается, во-первых, в том, что многие экстремальные задачи приходят из практики. Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, говорил: "В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума". Во-вторых, среди задач на максимум и минимум много красивых задач, которые интересно и полезно решать.
В данной работе рассмотрены различные планиметрические задачи на максимум и минимум, а также изложены основные теоретические сведения, необходимые для решения экстремальных задач. Основное внимание в работе было уделено решению весьма не тривиальной задачи на максимум, а именно отысканию пятиугольника заданного диаметра, имеющего наибольший периметр. При решении поставленной задачи были использованы как геометрические, так и аналитические методы и доказана основная теорема о том, что в пятиугольнике наибольшего периметра по крайней мере четыре диагонали равны единице. В заключительной теореме показано, уже чисто аналитически, что искомым является правильный пятиугольник.
Таким образом, основная цель работы достигнута.
Библиография
1. Болтянский, В.Г. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии [Текст]/ В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг.- М.: НАУКА, 1965.- 108 с.: ил.
2. Математика, ее преподавание, приложения и история [Электронный документ]/ Я.С. Дубнов, В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович и др.; Под ред. Я.С. Дубнов.- вып.3.- М.: Физ.– мат. лит., 1958.- 321 с.
3. Протасов, В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии [Текст]/ В.Ю. Протасов.- М.: НЦНМО, 2005.- 56 с.
4. Тихомиров, В.М. Рассказы о максимумах и минимумах [Текст]/ Тихомиров В.М.- М.: НАУКА, 1986.- 192 с.
5. Трофимов, В.В. Царевна Дидона, изопериметры и мыльные пленки [Электронный документ]
(http://mirror1.mccme.ru/kvant/1985/05/carevna_didona_izoperimetry_i.htm)
6. Шклярский, Д.О. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии [Текст]/ Д.О. Шклярский, И.М. Яглом, Н.Н. Ченцов.- М.: НАУКА , 1974.- 384 с.: ил.
7. Энциклопедия элементарной математики [Текст]/ В.Г. Болтянский, В.А. Рохлин, И.М. Яглом, Б.А. Розенфельд и д.р.; Под ред. В.Г. Болтянский.- книга 5.- М.: Физ.– мат. лит., 1966.- 624 с.: ил.
8. Яглом, И.М. Выпуклые фигуры [Текст]/ И.М. Яглом, В.Г. Болтянский.- М.Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1951.- 343 с.