Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 2 из 15)

Определение 1.1.10.Одномерные выпуклые фигуры это линии, обладающие тем свойством, что отрезок АВ,соединяющий любые две точки А и В такой линии, целиком принадлежит ей. [8, 16]

Одномерные выпуклые фигуры можно охарактеризовать как выпуклые фигуры, все точки которых являются граничными.

Двумерные (плоские) выпуклые фигуры могут быть весьма разнообразны (см., например, фигуры а), б), в)на рис. 1.1.1 и а), б), в), г)на рис. 1.1.3).

Определение 1.1.11.Отрезокэто ограниченная одномерная выпуклая фигура.

Пусть Ф — произвольная плоская фигура.

Определение 1.1.12. Прямая lназывается опорной прямой фигуры Ф, если она проходит хотя бы через одну граничную точку фигуры Ф и вся фигура Ф расположена по одну сторону от прямойl(рис. 1.1.5).

Рис. 1.1.5

Например, прямая, проведенная через вершину треугольника параллельно противолежащей стороне (рис. 1.1.6, а),или сторона треугольника (рис. 1.1.6,6)являются опорными прямыми треугольника; каждая сторона выпуклого многоугольника является его опорной прямой. Касательная к окружности является опорной прямой для круга, ограниченного этой окружностью (рис. 1.1.6, в).Опорная прямая может иметь с выпуклой ограниченной фигурой или единственную общую точку (см., например, рис. 1.1.6, а, в),или целый общий отрезок (рис. 1.1.6, б);если выпуклая фигура не ограничена, то опорная прямая может даже целиком принадлежать фигуре (рис. 1.1.6, г). [8, 18]

Рис. 1.1.6

Опорную прямую выпуклой фигуры Ф можно также определить следующим образом:

Определение 1.1.13.Опорная прямая выпуклой фигуры Ф - это такая прямая, которая содержит граничные точки фигуры, но не содержит ни одной ее внутренней точки.

Действительно, прежде всего ясно, что опорная прямая не может содержать внутренней точки А фигуры: в противном случае точки фигуры Ф, расположенные внутри некоторой окружности с центром в точке А,находились бы по обе стороны от опорной прямой (рис. 1.1.7). С другой стороны, если прямая lне содержит внутренних точек выпуклой фигуры Ф, то вся фигура должна быть расположена по одну сторону от l. Действительно, пусть А — какая-нибудь внутренняя точка Ф. Если бы какая-либо (внутренняя или граничная) точка В фигуры находилась по другую сторону от прямой l, чем точка А (рис. 1.1.8), то точка пересечения прямой l с отрезком АВ была бы внутренней точкой Ф (см. задачу 1.1.3 а, б). [8, 19]

Теорема 1.1.1.К каждой ограниченной выпуклой фигуре можно провести в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению.

Доказательство.

Для того чтобы это доказать, проведем через каждую точку ограниченной выпуклой фигуры Ф прямую, параллельную данному направлению (рис. 1.1.9). Все эти прямые пересекают произвольную прямую, перпендикулярную к выбранному направлению, по одномерной выпуклой фигуре (если А и В — две произвольные точки пересечения нашей совокупности прямых с перпендикулярной к ним прямой, а С—произвольная точка отрезка АВ,то С тоже должна принадлежать этому пересечению; это нетрудно видеть из рис. 1.1.9, если воспользоваться выпуклостью фигуры Ф). Следовательно, это пересечение должно быть отрезком прямой линии (ограниченность пересечения вытекает из ограниченности фигуры Ф), а совокупность прямых, параллельных заданному направлению, проведенных через все точки Ф, должна представлять собой полосу. Крайние (граничные) прямые l₁ и l₂ этой полосы и являются двумя опорными прямыми, параллельными заданному направлению.

Рис. 1.1.9

Теорема доказана. [8, 20]

Определение 1.1.14. Наибольшее расстояние между двумя точками плоской фигуры Ф называется диаметром фигуры.

Иначе говоря, диаметром фигуры Ф называется такое расстояние d, что, во-первых, расстояние между любыми двумя точками М и N фигуры Ф не превосходитd и, во-вторых, можно отыскать в фигуре Ф хотя бы одну пару точек А и В, расстояние между которыми в точности равно d. [1, 6]

Например, для круга диаметр, в указанном смысле, совпадает с обычным его диаметром (наибольшая из хорд).

Определение 1.1.15. Пусть К выпуклая кривая l’ и l’’ две ее параллельные опорные прямые. Расстояние h между этими опорными прямыми называется шириной кривой К в направлении перпендикулярном к прямым l’ и l’’ (рис. 1.1.10). [7, 198]

Рис. 1.1.10

Определение 1.1.16. Наименьшую ширину выпуклой кривой К называют ширинойК.

Определение 1.1.17. Совокупность лучей, исходящих из одной точки О,называется выпуклой, если она содержит все лучи, проходящие внутри угла, меньшего 180°, образованного любыми двумя лучами совокупности, не составляющими продолжение один другого.

Теорема 1.1.2. Выпуклая совокупность лучей может быть одним лучом, парой лучей, являющихся продолжением один другого, углом, меньшим 180°, полуплоскостью либо целой плоскостью (рис. 1.1.11).

Рис. 1.1.11

Доказательство.

В самом деле, из определения выпуклой совокупности лучей непосредственно следует, что пересечение такой совокупности с любой прямой, не проходящей через точку О,выпукло. Рассматривая пересечения выпуклой совокупности лучей, с двумя параллельными прямыми, расположенными по разные стороны от точки О,и учитывая, что каждое из этих пересечений может совсем не содержать точек, быть единственной точкой, отрезком, лучом или всей прямой, нетрудно выяснить, что выпуклая совокупность лучей может быть только одного из перечисленных выше видов; все возможные здесь случаи приведены на рис. 1.1.12. [8, 21]

Рис. 1.1.12

Теорема доказана. [8, 22]

Пусть Ф — некоторая выпуклая фигура и О — ее граничная точка. Проведем из точки О лучи, соединяющие ее с каждой точкой (внутренней или граничной) фигуры Ф (рис. 1.1.13).

Рис. 1.1.13

Мы получим выпуклую совокупность лучей. В самом деле, если ОА и ОВ — два луча данной совокупности (А и В — точки фигуры Ф), то все лучи, расположенные внутри острого угла АОВ,пересекают отрезок АВ,целиком состоящий из точек фигуры Ф, и, следовательно, принадлежат данной совокупности. [8, 22]

Получившаяся совокупность лучей не может быть единственным лучом или парой лучей, составляющих продолжение один другого, так как считается, что фигура не одномерна.

Нетрудно так же показать, что эта совокупность лучей не может заполнить всю плоскость. Действительно, если лучи заполняют плоскость, то среди них можно выбрать две такие пары лучей ОА и ОВ, ОС и ОD,что лучи каждой пары, составляют продолжение один другого. Пусть А, В, С,D—точки выпуклой фигуры, лежащие на этих лучах (рис. 1.1.14). Фигура Ф вместе с точками А, В,С должна содержать весь треугольник АВС (см. рис. 1.1.14) и вместе с точками А, В,D—весь треугольник АВD,т. е. она должна содержать весь выпуклый четырехугольник АСВD, для которого точка О является внутренней. Таким образом, в этом случае точка О не может быть граничной точкой фигуры Ф. [8, 23]

Рис. 1.1.14

Следовательно, рассматриваемая совокупность лучей будет либо полуплоскостью, либо углом, меньшим 180°. В первом случае (рис. 1.1.15) точка О называется обыкновеннойточкой выпуклой кривой К, ограничивающей фигуру Ф.

Прямая Г, ограничивающая полуплоскость, является опорной прямой фигуры Ф (все точки Ф лежат на лучах нашей совокупности, а следовательно, с одной стороны от прямой Г).

Рис. 1.1.15 Рис. 1.1.16

При этом прямая Г является единственной опорной прямой фигуры Ф в точке О,так как по обе стороны от каждой другой прямой l, проходящей через О,есть лучи нашей совокупности, а следовательно, и точки фигуры Ф (рис. 1.1.15). Такая опорная прямая Г фигуры Ф, ограничивающая полуплоскость, называется касательнойв точке О квыпуклой кривой К.[7, 188]

Во втором случае, когда выпуклая совокупность лучей является углом, меньшим 180°, точка О называется угловой точкой выпуклой кривой К,ограничивающей фигуру Ф (рис. 1.1.16).

Все точки фигуры Ф заключены в этом случае внутри угла МОN;поэтому всякая прямая l, проходящая внутри угла МОN’,смежного с углом МОN,будет опорной прямой фигуры Ф. В частности, опорными будут и лучи ОМ, ОN,которые называются полукасательным в точке О к выпуклой кривой К, ограничивающей фигуру Ф. [1, 40]

Определение 1.1.18. Угол MON =

называется внутренним углом (или просто углом) выпуклой кривой К или выпуклой фигуры Ф в точке О, а угол МОN’ =180° -

называется внешним углом кривой К или выпуклой фигуры Ф. [7, 189]

Согласно этому определению все точки выпуклого многоугольника, кроме вершин, являются обыкновенными, причем касательными в этих точках являются стороны многоугольника. Вершины выпуклого многоугольника являются его угловыми точками, а определенные выше углы совпадают с углами многоугольника в обычном смысле (рис. 1.1.17).