Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 3 из 15)

Рис. 1.1.17

Сопоставляя оба случая — случай обыкновенной точки выпуклой кривой и случай угловой точки, приходим к заключению, что через каждую точку выпуклой кривой проходит, по крайней мере, одна опорная прямая. [1, 41]

Определение 1.1.19. Ограниченная фигура называется выпуклой, если через каждую ее граничную точку проходит, по крайней мере, одна опорная прямая. [8, 26]

Пусть Ф — произвольная ограниченная выпуклая фигура, К— ее граница. Установим на кривой К определенное направление обхода, например, против часовой стрелки. При движении по кривой К в этом направлении фигура Ф все время остается слева (рис. 1.1.18). В соответствии с этим установим направления и на опорных прямых фигуры Ф.

Будем выбирать направление опорной прямой l фигуры Ф таким образом, чтобы фигура Ф лежала слева от прямой l(рис. 1.1.19).

Рис. 1.1.18 Рис. 1.1.19

В таком случае две параллельные между собой опорные прямые l₁ и l₂ фигуры Ф получат противоположные направления. Таким образом, каждому направлению в плоскости (которое можно задавать при помощи прямой со стрелкой) будет соответствовать единственная опорная прямая, имеющая это направление (рис. 1.1.19).

Если К это многоугольник, то задание направления обхода позволяет говорить о направлениях сторон многоугольника.

Определение 1.1.20.п граничных точек А, В, С,..., Р фигуры Ф расположены в циклическом порядке, если при обходе кривой К,ограничивающей фигуру Ф, против часовой стрелки эти точки встречаются в указанном порядке

Рис. 1.1.20

Определение 1.1.21. Если точки А, В, С,..., Р кривой К расположены в циклическом порядке, то многоугольник АВС...Р называется вписанным в кривую К.

Определение 1.1.22. Если l₁, l₂, ... , l_пэто п опорных прямых выпуклой фигуры Ф, на каждой из которых установлено направление, а П₁, П₂, ... , П_n- соответствующие им левые полуплоскости (рис.1.1.21), то Ф расположена в каждой из этих левых полуплоскостей, а значит, и в их пересечении. Если это пересечение ограничено, т. е. является многоугольником, то этот многоугольник называется описанным вокруг фигуры Ф или вокруг ограничивающей ее кривой К.[8, 27]

Рис. 1.1.21

Из этого определения следует, что многоугольник, описанный вокруг выпуклой фигуры, всегда является выпуклым. Сторонами описанного многоугольника являются отрезки прямых l₁, l₂, ... , l_п.

Может, однако, оказаться, что три (или больше) из взятых п опорных прямых будут проходить через одну и ту же граничную точку фигуры Ф (которая в этом случае обязательно является угловой; рис. 1.1.22). В таком случае описанный многоугольник будет иметь меньше чем п сторон. Такой многоугольник называют n-угольником, имеющим одну или несколько сторон нулевой длины, т. е сторон, превратившихся в точки. Эти стороны нулевой длины имеют определенные направления, а именно направления соответствующих опорных прямых

Рис. 1.1.22

Это позволяет говорить об п внутренних и внешних углах описанного n-угольника независимо от того, имеет ли он стороны нулевой длины или нет.

Определение 1.1.23. Длиной ограниченной выпуклой кривой К и площадью фигуры Ф, которую эта кривая ограничивает, называются пределы периметров, соответственно площадей, вписанных в Ф многоугольников, все стороны которых безгранично уменьшаются, или описанных вокруг Ф многоугольников, все внешние углы которых безгранично уменьшаются.

Из этого определения следует, что если выпуклая кривая К целиком заключена внутри выпуклой кривой К’, то длина К не может быть больше длины К’.

Теорема 1.1.3. Если выпуклая кривая К целиком заключена внутри выпуклой кривой К’, то длина К не может быть больше длины К’.

Доказательство.

Действительно, рассмотрим последовательность многоугольников, вписанных в кривую К,стороны которых безгранично уменьшаются, и последовательность многоугольников, описанных вокруг К’,внешние углы которых безгранично уменьшаются (рис. 1.1.23).

Рис. 1.1.23

Каждый из многоугольников второй последовательности заключает в себе каждый из выпуклых многоугольников первой последовательности и, следовательно, имеет больший периметр; отсюда следует, что предел периметров многоугольников второй последовательности — длина К’ не меньше предела периметров многоугольников первой последовательности — длины К.

Теорема доказана.

Определение 1.1.24. Периметром плоской фигуры называется длина кривой, ограничивающей эту фигуру. [8, 28]

1.1 Задачи

Задача №1.1.1. Докажите, что пересечение двух или нескольких выпуклых фигур есть выпуклая фигура.

Задача №1.1.2. Докажите, что всякий выпуклый многоугольник является пересечением конечного числа полуплоскостей (рис.1.1.24). [8, 14]

Рис. 1.1.24

Задача №1.1.3. Докажите, что

а) если А и В — внутренние точки выпуклой фигуры Ф, то все точки отрезка АВ — внутренние точки Ф;

б) если А — внутренняя, а В — граничная точка выпуклой фигуры Ф, то все точки отрезка АВ,кроме В,— внутренние точки Ф;

в) если А и В—граничные точки выпуклой фигуры Ф, то либо все точки отрезка АВ — граничные точки Ф, либо все точки отрезка АВ,кроме А и В,— внутренние точки Ф.

Задача №1.1.4. Докажите, что всякая прямая, проведенная через внутреннюю точку выпуклой фигуры, пересекает ее границу не более, чем в двух точках. Если выпуклая фигура ограничена, то каждая прямая, проходящая через какую-либо ее внутреннюю точку, пересекает границу фигуры ровно в двух точках.

Задача №1.1.5. Докажите, что если всякая прямая, проходящая через любую внутреннюю точку ограниченной фигуры, пересекает ее границу в двух точках, то фигура выпукла. [8, 15]

Задача №1.1.6. Докажите, что каждая из двух параллельных опорных прямых, расстояние между которыми имеет наибольшее возможное значение, содержит единственную точку границы фигуры и что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен к обеим опорным прямым (рис. 1.1.25). [8, 20]

Рис. 1.1.25

Задача №1.1.7. Докажите, что наибольшее расстояние между двумя точками выпуклой фигуры совпадает с наибольшим расстоянием между парой параллельных опорных прямых.

Задача №1.1.8. Докажите, что если А и В — две точки выпуклой фигуры Ф, расстояние dмежду которыми имеет наибольшее значение, то прямые, проведенные через точки А и В перпендикулярно к отрезку АВ,являются опорными прямыми Ф. [8, 21]

1.2 Решения

Задача №1.1.1

Пусть Ф₁и Ф₂ — две выпуклые фигуры, Ф — их пересечение, А и В — две произвольные точки, принадлежащие пересечению Ф (рис. 1.1.26). По определению пересечения двух фигур обе точки А и В принадлежат как фигуре Ф₁, так и фигуре Ф₂. В силу выпуклости фигуры Ф₁ все точки отрезка АВ принадлежат Ф₁, а в силу выпуклости Ф₂ — все они принадлежат также фигуре Ф₂. Следовательно, отрезок АВ целиком принадлежит пересечению Ф фигур Ф₁ и Ф₂, а это и означает, что пересечение Ф выпукло.

Рис. 1.1.26 Рис. 1.1.27

Точно так же доказывается, что пересечения Ф нескольких выпуклых фигур Ф₁, Ф₂,..., Ф_пвыпукло: если А и В — две произвольные точки Ф, то А и В принадлежат одновременно всем фигурам Ф₁,Ф₂, ..., Ф_п и в силу того, что все эти фигуры выпуклы, все точки отрезка АВ принадлежат одновременно всем фигурам Ф₁, Ф₂,..., Ф_n, т.е. принадлежат их пересечению Ф.

Примечание. Теорема остается верной и в том случае, когда фигур Ф_1,…,Ф_n,... бесконечно много; доказательство ее остаётся прежним. Например, на рис. 1.1.27 изображены равные между собой квадраты с общим центром. Легко видеть, что пересечением всех таких квадратов (а этих квадратов бесконечно много) является круг, т. е. выпуклая фигура.

Задача №1.1.2

Выпуклый многоугольник Ф лежит по одну сторону от каждой прямой, являющейся продолжением его стороны. В самом деле, если бы существовала точка С,принадлежащая Ф и расположенная не с той стороны прямой АВ (А и В — две соседние вершины Ф), с какой многоугольник Ф примыкает к стороне АВ (рис. 1.1.28), то, например, отрезок МС, соединяющий внутреннюю точку М отрезка АВ с точкой С, не принадлежал бы целиком Ф, т. е. многоугольник Ф не мог бы быть выпуклым. Таким образом, выпуклый многоугольник Ф расположен целиком в каждой из полуплоскостей, границами которых служат прямые, содержащие каждую из сторон многоугольника. Пересечение всех таких полуплоскостей и дает многоугольник Ф.