ADB=2d- = ,гдеd=90°.
AD’B=d+ .
Так как ADB = АD’В,то точки D и D’ лежат на дуге окружности BD’DA.Поскольку DВА < D’ВА < 180°, то CA-CB=DA<D’A=C’A-C’B.
Аналогично, отложив на продолжении сторон BC и BC’ отрезки CE=CA и C’E’=C’A (рис. 1.2.4, б) получим:
СА+СВ = ВЕ> ВЕ’ = С’А+ С’В,
так как АЕВ= .
Второе утверждение задачи сразу следует из доказанного.
в) Параллелограмм с данным острым углом а и данным периметром 2р разбивается диагональю на два треугольника. Поэтому для решения задачи нам достаточно доказать, что из всех треугольников с данным углом а при вершине и данной суммой р боковых сторон наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
Итак, пусть АВС — такой разносторонний треугольник, что:
ВАС = а,а АВ+АС = р;предположим для определенности, что АВ>АС (в противном случае доказательство аналогично). Построим равнобедренный треугольник АВ’С’,у которого
В’АС’ = а, АВ’+АС’ = р и который расположен, как указано на рис. 1.2.5. Точку пересечения сторон ВС и В’С’ обозначим через М.Докажем теперь, что:S CC’M>S BB’M
Действительно, треугольники СС’М и ВВ’М имеют равные углы при вершинах и равные основания СС’ и ВВ’:
СС’ — ВВ’ = (АС’ — АС) — (АВ — АВ’)= (АВ’ +АС’)— (АВ + АС) =р — р = 0.
Далее, из четырех углов ВВ’М, В’ВМ, СС’М и С’СМ наибольшим является первый, а следовательно, наименьшим — второй (т.к. сумма двух первых углов равна сумме двух последних). Отсюда следует, что разность углов при основании треугольника ВВ’М больше, чем разность углов при основании треугольника СС’М.Таким образом S CC’M>S BB’M. Следовательно, S AB’C’>S ABC, что и требовалось доказать. [8, 221]
г) Наложим два треугольника, удовлетворяющих условию задачи, друг на друга так, чтобы их основания совпали, вершины С и С’ были расположены по одну сторону от общего основания АВ,пусть при этом:
САВ< СВА;
С’АВ< С’ВА,
пустькроме этого
САВ> С’AB(рис.1.2.6).
Если бы при этом был СВА> С’ВА,то C’BAбыл бы заключен внутри треугольника ABCи они не могли бы иметь равных периметров. Следовательно, треугольники расположены так, как изображено на рис. 1.2.6; отсюда и из предыдущих соотношений между углами следует, что разность углов при основании больше у треугольника АС’В ( CBA- CAB < CBA- C’AB< C’BA- C’AB). Точку пересечения сторон АС’ и ВС обозначим через М.Отложим на прямой МА отрезок MN=MBи на прямой МС отрезок МР=МС’. При этом точка N будет находиться между А и М,так как из того, что:
МВА > САВ > МАВ, следует, что МА > МВ.
С другой стороны, точка Р будет находиться между М и С,так как если бы она совпала с некоторой точкой Р’ на продолжении МС,то из равенства периметров двух треугольников мы имели бы
АС+СВ=АС’+С’В, т.е. АС+Р’М-СР’+МВ = АN+NМ+MC’+С’В.
Отсюда, так как:
Р’М=МС’, МВ=МNи С’В=Р’N,
мы имели бы:
АС=АN +NР’+Р’С,
что невозможно.
Отняв теперь от треугольников АВС и АВС’ равные между собой треугольники NМР и МВС’ (заштрихованные на рис. 1.2.6), мы сразу обнаружим, что треугольник АВС имеет большую площадь.
Нам еще остается доказать, что:
СА — СВ< С’А — С’В.
Для этого достаточно проверить, что АС<АС’ (а следовательно, ВС>ВС’). Действительно, если бы было АС>АС’, ВС<ВС’, то из рассмотрения треугольников АСС’ и ВСС’ мы получили бы два несовместных неравенства:
АСС’< АС’С, ВСС’> ВС’С.
Равенство же АС=АС’ невозможно, так как треугольники АВС и АВС’,по предположению, не равны.
Второе утверждение задачи сразу следует из доказанного. [8, 223]
д) Для того чтобы при заданных условиях площадь трапеции АВСDбыла наибольшей, необходимо, чтобы ее высота была наибольшей. Проведя линию ВD’ || СD(рис. 1.2.7), мы получим, что наибольшей высоте трапеции АВСDотвечает наибольшая площадь треугольника АВD’ с заданным основанием (равным разности оснований трапеции) и заданным периметром (равным периметру трапеции минус удвоенное меньшее основание). После этого остается только применить к треугольнику АВD’ заключение задачи 1.2.1 пункта г. [8, 224]
Задача №1.2.2
а) Эта несложная задача имеет несколько решений, мы рассмотрим только два.
Первое решение.
По формуле Герона площадь S треугольника со сторонами a, b, с и полупериметром р равна:
S=
откуда:
S2=p( p-a)( p-b)( p-c).
Но так как:
(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=3p-2p=p,
то по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
(p-a)(p-b)(p-c)
и, следовательно, S2 , где равенство имеет место лишь в случае p-a=p-b=p-c, т.е. в случае a=b=c, - когда
ABC является равносторонним. [6, 253]