Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 7 из 15)
Второе решение
Пусть АВС—неравносторонний треугольник, АВ— его большая сторона (или одна из двух больших сторон) (рис. 1.2.8, а).
Рис. 1.2.8
Равнобедренный треугольник АВС’,имеющий тот же периметр, что и треугольник АВС,и то же основание АВ (рис. 1.2.8, а), в силу задачи 1.2.1 г) имеет не меньшую площадь, чем треугольник АВС.Построим теперь треугольник АDЕ, у которого сторона АDравна
периметра треугольника АВС’ (или АВС), 
DАЕ= ВАС’ и периметр которого равен периметру 
АВС’.Расположим треугольник АDЕ так, как указано на рис. 1.2.8, б).Так как АВ — большая сторона треугольника АВС,а сторона АDравна трети периметра этого треугольника, то АВ>АD;отсюда следует, что АЕ>АС’ (так как иначе АDЕ был бы заключен внутри треугольника АВС’ и не мог бы иметь того же периметра). Так как АВ это большая сторона равнобедренного треугольника АВС’,поэтому: 
=AD.Из последнего неравенства вытекает, что
АС’D> АDС’,т. е. ЕС’D< ВDС’.Так как, кроме того, очевидно, что
ВDС’> ЕDС’,то в силу задачи 1.2.1 г) мы можем заключить, что из двух треугольников С’DЕ и ВС’D,имеющих общее основание и равные периметры (т.к. периметр треугольника АВС’ равен периметру треугольника АDЕ,то AC’+C’E+ED+DA = AC’+C’B+BD+DA,значит C’E+ED=C’B+BD), второй имеет меньшую площадь. Такимобразом,S C’ DE>S BC’ D, S A DE>S ABC’.
Теперь, построив на основании АDравнобедренный треугольник АDF, имеющий тот же периметр, что и треугольник АDЕ (этот треугольник, изображенный пунктиром на рис. 1.2.8, б),очевидно, будет равносторонним (т.к. AD=
p, AF=FD= p), мы получим согласно задаче 1.2.1 г), что:S ADF> S ADE
(треугольник АDЕ не совпадает с равносторонним треугольником АDF,так как
60°).Цепьнеравенств:
S ABC
S ABC’< S ADE < S ADFи доказывает теорему (в этом ряду неравенств мы один раз вынуждены писать
вместо <, так как у нас нет уверенности, что АВС не равен AВС’,т. е. что он не равнобедренный). [8, 225] 
Рис. 1.2.9
б) Разобьем четырехугольник АВСDдиагональю АС на два треугольника. Заменив треугольники AВС и АСDравнобедренными треугольниками АВ’С и АСD’ с теми же основаниями и с теми же периметрами, мы получим четырехугольник АВ’CD’, причем в силу задачи 1.2.1 г):
SAB’CD’
SABCD(рис. 1.2. 9, а).Теперь заменим равные треугольники АВ’D’ и В’СD’ (по трем сторонам)равнобедренными треугольниками А’В’D’ и В’С’D’ с теми же основаниями и теми же периметрами; мы получим ромб А’В’С’D’,причем:
SA’B’C’D ’
SAB’CD’ (рис. 1.2.9, б).Наконец, ромб А’В’С’D’ имеет в силу задачи 1.2.1 а) не большую площадь, чем квадрат А’’B’С’D’’ с той же стороной (рис. 1.2.9, в).
Если четырехугольник АВСDотличен от квадрата, то в цепи неравенств:
SABCD
SAB’CD’ SA’B’C’D’ SA’’B’C’D’’,хотя бы один раз должно стоять точное неравенство. [8, 227]
Задача №1.2.3
а) Если вписанный в круг n-угольник не является правильным, то у него есть сторона, меньшая стороны соответствующего правильного n-угольника. Предположим, что у этого вписанного в круг неправильного n-угольника есть сторона, большая стороны правильного n-угольника (если это не так, то весь n-угольник вписан в дугу окружности, меньшую
— части окружности; этот случай можно отбросить, так как тогда многоугольник может быть целиком помещен внутри правильного n-угольника и иметь в этом случае меньшую площадь; рис. 1.2.10).
Не меняя площади многоугольника, вписанного в окружность, мы можем поменять его стороны местами так, чтобы рядом оказались сторона, большая стороны правильного n-угольника, и сторона, меньшая стороны правильного n-угольника (очевидно, что если поменять местами две соседние стороны вписанного в окружность многоугольника, то площадь его не изменится (рис. 1.2.11); повторяя этот процесс, можно добиться того, чтобы любые две стороны оказались рядом).
Рис. 1.2.11
Если мы теперь, не меняя остальных сторон, изменим длины этих двух сторон многоугольника так, чтобы одна из них стала равной стороне правильного n-угольника и многоугольник оставался вписанным в ту же окружность, то согласно задаче 1.2.1, 6) площадь n-угольника увеличится. Продолжая этот процесс далее, мы придем, в конце концов, к правильному n-угольнику; при этом в процессе изменения исходного n-угольника площадь его будет только увеличиваться.
б) Доказывается аналогично решению задачи 1.2.3 а). [6, 251]
Задача №1.2.4
а) Примем известный периметр искомого четырехугольника ABCD за единицу и пусть A’B’C’D’, какой лидо четырехугольник подобный ABCD. Тогда площадь ABCD равна отношению
площади четырехугольника A’B’C’D’ к квадрату его периметра (т.к. коэффициент подобия четырехугольников ABCD и A’B’C’D’ равен отношению их периметров т.е. 
, а площадь ABCDравна площади A’B’C’D’ умноженной на квадрат коэффициента подобия, т.е. равна S 
= ) и задача сводится к тому, что бы найти тот из четырехугольников, имеющий наперед заданные углы, для которого отношение площади к квадрату периметра имеет наибольшее возможное значение (рис. 1.2.12). Нам требуется доказать, что искомым будет четырехугольник ABCD который можно описать около окружности. [6, 247] 
Рис. 1.2.12
Постоим треугольник АВF два угла которого равны углам А и В искомого четырехугольника (такой треугольник невозможно построить лишь в том случае, когда сумма каждых двух соседних углов четырехугольника ABCDравна 1800. В этом исключительном случае наша задача формулируется так: доказать, что из всех параллелограммов с данным острым углом и данным периметром наибольшую площадь имеет ромб). Нам надо пересечь этот треугольник прямой CD данного направления, так, чтобы у получившегося четырехугольника ABCDотношение площади к квадрату периметра было возможно большим. Впишем в треугольник ABF окружность с радиусом r и центром О и проведем прямую CD заданного направления таким образом, что бы она касалась этой окружности (рис. 1.2.12). Докажем, что четырехугольник ABCD обладает требуемым свойством, т.е., если C’D’ – произвольная прямая параллельная CD, то: