Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 8 из 15)

(*)

Обозначим коэффициент подобия треугольников FCD и FC’D’ через k (k может быть больше или меньше единицы). Очевидно, что:

;

;

. [6, 248]

Отсюда:

;

или, если обозначить

AB+BF+FAчерез 2p, а CF+FD-DC- через 2q:

= r (p-q);

r (p-k²q).

Далее, из подобия треугольников CDF и C’D’F следует:

C’F+ FD’- C’D’=2kq, откуда AB+BC+CD+DA=AB+BF+FA-(CF+FD-CD)=2(p-q),

AB+BC’+C’D’+D’A=AB+BF+FA-(C’F+FD’-C’D’)=2(p-kq).

В силу этого неравенство (*) примет следующий вид:

, откуда имеем:

.

Перенося оба члена неравенства в левую часть и умножая его на (положительное) число (p-q) (p-kq) ², получим:

(p-kq) ² -(p-q) (p-k²q)

0,

что после раскрытия скобок и упрощения дает:

(1- k) ²pq

0.

Последнее неравенство очевидно справедливо. [6, 249]

б) Для простоты решим сначала задачу для случая пятиугольника, и пусть М=АВСDЕ иM’= А’В’С’D’Е’- два пятиугольника с периметрами Р и Р’ и площадями S и S’, имеющие равные углы, причем М описан вокруг окружности s радиуса r, а M’ не подобен М. Для того что бы доказать неравенство:

(**)

отбросим соответствующие стороны DЕ и D’E’ пятиугольников М и М’ (такие, что

D+

Е=

D’+

E’>180⁰) и продолжим примыкающие к DЕ и D’E’ стороны до их пересечения. При этом мы получим два четырехугольника ABCT и A’B’C’T’ с соответственно равными углами, причем четырехугольник ABCT описан вокруг окружности s (рис. 1.2.13). Для упрощения выкладок будем считать, что размеры исходных пятиугольников выбраны так, что рассматриваемые четырехугольники имеют одинаковые периметры, равные Р₁(выполнение этого условия всегда можно добиться, преобразовав, если надо, пятиугольник М’ подобно).

Рис. 1.2.13

Ясно, что

. Обозначим , где - некоторое положительное число (равное ). [6, 250]

В силу результата задачи а)

1, причем

=1, лишь, если A’B’C’T’ тоже описан около окружности, т.е. если он равен ABCT.

Далее обозначим DT+ТЕ-DЕ=pиD’T’+Т’Е’-D’Е’=kp , гдеk- коэффициент подобия треугольников

D’E’T’ и

DTE.Так как

то

.

Далее имеем:

S=S_M=

- ;

P=AB+BC+CD+DE+EA=(AB+BC+CT+TA)- (DT+TE-ED).

S’=S _M’ =

P’ =A’B’+B’C’+C’D’+D’E’+E’A’=(A’B’+B’C’+C’T’+T’A’)- (D’T’+T’E’-E’D’).

Поэтому неравенство (**) примет вид:

или ,

т.е.

.

Но последнее неравенство действительно справедливо:

,

так как 1-

,а

по самому определению этих величин. В последнем неравенстве стоит знак >, а не

так как если 1-

=0,

=1, то четырехугольник А’В’С’Т’ равен четырехугольнику АВСТ, и для того, чтобы пятиугольник А’В’С’D’Е’ был отличен от АВСDЕ,надо, чтобы треугольник D’Е’Т’ был отличен от DЕТ,т. е. что бы было k 1; таким образом, если (1—а)(Р₁— p)Р₁=0, то Р₁ р(1—к)²больше нуля.

Решение задачи для n-угольника проводится по методу математической индукции. Оно ничем не отличается от выше приведенного, и все выкладки имеют точно такой же вид. Только вместо пятиугольника всюду надо говорить об n-угольнике и вместо четырехугольника - об (п-1)-угольнике, для которого, по предположению индукции, теорема считается уже доказанной (что позволяет утверждать, что

1). [6, 251]

Задача №1.2.5

Пусть АВ — хорда фигуры Ф, делящая периметр Ф пополам. Если хорда АВ делит площадь Ф на две неравные части, то существует фигура

, имеющая тот же периметр, что и Ф, и большую площадь . Если же хорда АВ делит периметр и площадь Ф пополам и фигура Ф отлична от круга, то по крайней мере одна из двух частей, на которые АВ делит Ф, отлична от полукруга с диаметром АВ.Отсюда следует, что у фигуры Ф найдется такая граничная точка Р, что угол АРВ отличен от прямого (рис. 1.2.14, а; в противном случае граница Ф являлась бы окружностью с диаметром АВ,и фигура Ф была бы кругом). Заменим теперь часть АРВ фигуры Ф новой фигурой А’Р’В’ (рис. 1.2.14, 6),оставив сегменты фигуры, отсекаемые хордами АР и РВ,без изменения и заменив треугольник АРВ прямоугольным треугольником с теми же длинами боковых сторон (АР=А’Р’, РВ=Р’В’);при этом в силу задачи 1.2.1, а):

S

A’P’B’ >S

APB. [8, 237]

Рис. 1.2.14

Отразив теперь полученную фигуру А’Р’В’ относительно хорды А’В’,мы получим фигуру

того же периметра, что и фигура ф (периметр обеих фигур равен удвоенной длине дуги АРВ),но большей площади (площадь равна удвоенной площади фигуры А’Р’В’,площадь Ф — удвоенной площади фигуры АРВ). [8, 238]