Оценка периметра многоугольника заданного диаметра (стр. 9 из 15)
Задача №1.2.6
Пусть Ф — произвольная выпуклая фигура, К—круг. Нам надо доказать, что отношение площади круга К к квадрату его периметра больше, чем отношение площади фигуры Ф к квадрату ее периметра. При этом площадь и периметр Ф и К определятся как пределы площадей и периметров последовательностей описанных вокруг этих выпуклых фигур многоугольников, все внешние углы которых стремятся к нулю.
Будем рассматривать описанные вокруг Ф и К многоугольники с соответственно равными углами (например, описанные вокруг Ф и К многоугольники с параллельными сторонами; рис. 1.2.15). В силу задачи 1.2.4, б) отношение площади к квадрату периметра будет для каждого многоугольника, описанного вокруг К,не меньше, чем для соответствующего многоугольника, описанного вокруг Ф.
Отсюда, переходя к пределу, получаем, что:
откуда уже следует, что круг имеет не меньшую площадь, чем каждая другая выпуклая фигура того же периметра. Предположим теперь, что фигура Ф не является кругом, т. е. отлична от К.В этом случае, очевидно, не все многоугольники, описанные вокруг К,будут подобны соответствующим многоугольникам, описанным вокруг Ф. При этом если М есть первый из рассматриваемых многоугольников, описанных вокруг К,который не подобен соответствующему многоугольнику
, описанному вокруг Ф, то отношение площади к квадрату периметра для многоугольника М будет больше (а не только не меньше), чем для многоугольника (см. решения задач 1.2.4 а, б). А так как в дальнейшем отношение площади к квадрату периметра для многоугольников, описанных вокруг К, увеличивается каждый раз (при переходе от описанного n-угольника к описанному (п+1)-угольнику) больше, чем для многоугольников, описанных вокруг Ф, то окончательно мы можем заключить, что: 
Рис. 1.2.15
Примечание. Если уже доказано, что площадь круга К периметра 1 не меньше площади любой иной фигуры Ф того же периметра (именно это и означает неравенство (*)), то из результата задачи 1.2.5 (для любой фигуры Ф, отличной от круга, можно найти фигуру
того же периметра и большей площади) сразу будет следовать, что площадь К (которая не может быть меньше площади ) больше площади Ф (т. е. неравенство (**)). [8, 238]3. Задачи на максимум и минимум
Неиссякаемые россыпи драгоценных задач на максимум и минимум таятся в недрах древнейшей из математических наук — геометрии. [4, 30]
Многие задачи на максимум и минимум связаны с понятиями вписанной и описанной окружности выпуклой фигуры.
Определение 1.3.1. Описанной окружностью плоской фигуры Ф называется наименьшая окружность, заключающая Ф внутри себя.
Определение 1.3.2. Вписанной окружностью выпуклой фигуры Ф называется наибольшая окружность, целиком заключающаяся внутри Ф. [7, 200]
В противоположность описанной окружности вписанная окружность выпуклой фигуры может и не быть единственной (рис. 1.3.1).
Определение 1.3.3. Центром выпуклой фигуры Ф называется ее внутренняя точка О, обладающую следующим свойством: отношения, в которых делятся точкой О всевозможные хорды фигуры Ф, проходящие через О,заключены в наиболее тесных пределах.
Определение 1.3.4. Наименьшее из отношений, в котором делится центром О проходящая через О хорда Ф, называется коэффициентом центральности фигуры Ф. [8, 77]
Так, для центрально - симметричных выпуклых фигур (и только для таких фигур) коэффициент центральности равен 1, а центр совпадает с центром симметрии: все хорды, проходящие через центр симметрии, делятся в нем в одном и том же отношении 1:1. Очевидно, что чем ближе к 1 коэффициент центральности выпуклой фигуры, тем больше фигура похожа на центрально - симметричную. [8, 78]
Используя задачу 1.3.3, в которой доказывается, что из всех выпуклых кривых ширины 1 наименьшую площадь ограничивает равносторонний треугольник с высотой 1, можно решить следующую задачу:
Какую наименьшую площадь может иметь выпуклая фигура Ф, если известно, что внутри Ф можно так двигать отрезок длины 1, чтобы он повернулся на угол 360°?
Действительно, прежде всего легко видеть, что ширина
фигуры Ф не может быть меньше 1: если бы расстояние между какой-либо парой параллельных опорных прямых lи l’ фигуры Ф было меньше 1, то отрезок длины 1, имеющий направление, перпендикулярное к l и l’, не мог бы быть расположен внутри Ф (рис. 1.3.2), и следовательно, такой отрезок нельзя повернуть на 360° так, чтобы он все время оставался внутри Ф. [8, 78] 
В силу задачи 1.3.3 отсюда вытекает, что площадь выпуклой фигуры Ф, внутри которой можно повернуть на 360° отрезок длины 1, не может быть меньше площади равностороннего треугольника высоты 1 (т.е.площадь равна
= 0,577 …). С другой стороны, совершенно очевидно, что внутри правильного треугольника высоты 1 можно повернуть на 360° отрезок длины 1 (рис. 1.3.3).Нетрудно видеть, что диаметр D треугольника равен его наибольшей стороне, а ширина
— высоте, опушенной на эту сторону. Отсюда легко вывести, что для треугольника:D£
D.Теорема 1.3.1.Для треугольника: D£ D, где D – диаметр треугольника, D-ширина треугольника.
Доказательство.
Действительно, если Dесть наибольшая сторона некоторого треугольника, то противолежащий ей угол треугольника является наибольшим, откуда следует, что хотя бы один угол, примыкающий к этой стороне, не больше 60°. Отсюда вытекает, что высота треугольника, опушенная на сторону длины D, равная произведению одной из других сторон треугольника (по предположению не большей D) на синус угла примыкающего к наибольшей стороне, не больше, чем: Dsin60° =
D. Равенство D = D имеет место только в том случае, когда треугольник является равносторонним.Теорема доказана. [8, 80]
В теории выпуклых фигур значительное место занимает метод симметризаций, смысл которого заключается в замене изучаемой фигуры новой фигурой, более симметричной, чем первая. При этом существует целый ряд различных способов симметризации выпуклой фигуры.
Основную роль в теории плоских выпуклых фигур играют два типа симметризации: симметризация относительно оси и симметризация относительно точки. [8, 82]
Рис. 1.3.4
Симметризация относительно осисостоит в том, что выпуклая фигура заменяется новой фигурой, имеющей фиксированную ось симметрии l, при помощи следующего построения: каждая хорда АВ выпуклой фигуры Ф, перпендикулярная к прямойl, сдвигается вдоль образуемой АВ прямой в новое положение А1В1симметричное относительно l. Фигура Ф’, образованная всеми хордами А1В1в новом их положении, называется образом фигуры Ф при симметризации относительно оси l (рис. 1.3.4).
Более сложно определяется симметризация относительно точки, переводящая произвольную выпуклую фигуру Ф в центрально-симметричную фигуру Ф’. По аналогии с симметризацией относительно прямой хотелось бы определить симметризацию относительно точки, следующим образом: каждая хорда АВ кривой, проходящая через какую-либо внутреннюю точку О, сдвигается вдоль образуемой АВ прямой в новое положение А’В’, симметричное относительно О (рис.1.3.5). Однако такой метод симметризации находит сравнительно скромное применение.
Рис. 1.3.5
Значительно более важным оказывается способ симметризации относительно точки, определяемый следующим образом. Выпуклая фигура Ф рассматривается как пересечение бесконечного числа полос, образованных ее параллельными опорными прямыми. Затем все эти полосы сдвигаются в направлении, перпендикулярном к направлению полосы, в новое положение, симметричное относительно некоторой точки О; фигура Ф’, образованная в пересечении сдвинутых полос, и называется образом фигуры Ф при симметризации относительно точки О (рис. 1.3.6, а).На рис. 1.3.6, б)изображена симметризация выпуклого многоугольника М. [8, 83]
Рис. 1.3.6