Симплексний метод лінійного програмування (стр. 4 из 4)

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких u_i + v_i > c_ij

(2;1): -1 + 5 > 1

(3;1): 1 + 5 > 4

(3;5): 1 + 1 > 1

(4;1): -1 + 5 > 0

(4;2): -1 + 2 > 0

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (А₄B₁): 0

Для цього в перспективну клітку (А₄B₁) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (А₄B₅) =40. Додаємо 40 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 40 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах.

В результаті отримаємо новий опорний план.

A_i	B_j					u_i
A_i	b₁= 110	b₂= 170	b₃= 200	b₄=180	b₅=110	u_i
а₁= 200	5 [-] 70	2 [+] 20	3	6	1 110	u₁ = 0
а₂= 150	1 [+]	1 [-] 150	4	4	2	u₂ = -1
а₃= 350	4	3	1 200	2 150	1	u₃ = -3
а₄= 70	0 40	0	0	0 30	0 110	u₄ = -5
v_j	v₁= 5	v₂= 2	v₃= 4	v₄= 5	v₅= 1

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких u_i + v_i > c_ij

(1;3): 0 + 4 > 3

(2;1): -1 + 5 > 1

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (А₂B₁): 1

Для цього в перспективну клітку (А₂B₁) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (А₁B₁) =70. Додаємо 70 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 70 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах.

В результаті отримаємо новий опорний план.

A_i	B_j					u_i
A_i	b₁= 110	b₂= 170	b₃= 200	b₄=180	b₅=110	u_i
а₁= 200	5	2 90	3	6	1 110	u₁ = 0
а₂= 150	1 70	1 80	4	4	2	u₂ = -1
а₃= 350	4	3	1 200	2 150	1	u₃ = 0
а₄= 70	0 40	0	0	0 30	0 110	u₄ = -2
v_j	v₁= 2	v₂= 2	v₃= 1	v₄= 2	v₅= 1

Перевіримо оптимальність опорного плану, тобто повторюємо описані раніше дії.

Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний.

Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:

F(x) = 2*90 + 1*110 + 1*70 + 1*80 + 1*200 + 2*150 + 0*40 + 0*30 = 940

За оптимальним планом перевезень загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 940 грн.

симплексний прибуток транспортування витрати

Завдання 4

Знайти графічним методом екстремуми функцій в області, визначеній нерівностями.

Розв’язок

Побудуємо область допустимих рішень, тобто вирішимо графічно систему нерівностей. Для цього побудуємо кожну пряму і визначимо півплощини, задані нерівностями (півплощини позначені штрихом).

Межі області

Цільова функція F(x) => min

Розглянемо цільову функцію завдання F = 3X1+6X2 => min.

Побудуємо пряму, що відповідає значенню функції F = 0: F = 3X1+6X2 = 0. Будемо рухати цю пряму паралельним чином. Оскільки нас цікавить мінімальне рішення, тому рухався прямо до першого торкання позначеної області. На графіку ця пряма позначена пунктирною лінією.

Рівний масштаб

Перетином півплощини буде область, яка представляє собою багатокутник, координати точок якого задовольняють умові нерівностей системи обмежень задачі.

Пряма F(x) = const перетинає область у точці C. Оскільки точка C отримана в результаті перетину прямих 4 i 2, то її координати задовольняють рівнянням цих прямих:

x2=0

x1+2x2≥2

Вирішивши систему рівнянь, одержимо: x1 = 2, x2 = 0

Звідки знайдемо мінімальне значення цільової функції:

F(X) = 3*2 + 6*0 = 6

Оскільки функція мети F(x) паралельна прямій 2, то на відрізку CA функція F (x) буде приймає одне і теж мінімальне значення.

Для визначення координат точки A вирішимо систему двох лінійних рівнянь:

x1+2x2≥2

x1=0

Вирішивши систему рівнянь, одержимо: x1 = 0, x2 = 1

Звідки знайдемо мінімальне значення цільової функції:

F(X) = 3*0 + 6*1 = 6