Структура некоторых числовых множеств (стр. 11 из 22)

Покажем, что точка

принадлежит нашему множеству . С этой целью выберем в множестве точку , затем в (бесконечном) множестве выберем точку , отличную от , затем в множестве выберем точку , отличную от , ни от , и так далее.

В результате мы получим последовательность

, различных точек множества , причем . Но тогда, очевидно, , так что есть предельная точка множества . Но так как множество замкнуто, значит, действительно .

Так как множество

покрыто системой , то в системе существует интервал такой, что . Если достаточно велико, то очевидно и тем более , то есть множество покрывается одним интервалом из , а это противоречит самому определению отрезка .

Теорема доказана

Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить условие ограниченности или условие замкнутости множества

. Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно замкнуто (так как N’=0), но неограниченно. Рассмотрим систему всех интервалов вида , (n=1,2,3,…) покрывающую множество N. Так как каждый из интервалов системы содержит только одну точку множества N, то ясно, что никакая конечная система этих интервалов не в состоянии покрыть бесконечного множества N. Итак, условие ограниченности существенно.

Рассмотрим другое множество Е всех чисел вида

:

Это множество ограничено, но не замкнуто. Построим около каждой точки

интервал , содержащий эту точку, но настолько малый, чтобы он не содержал никакой другой точки множества , и обозначим через систему всех интервалов . Ясно, что система покрывает множество Е, но те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают, что не покрывается никаким подмножеством . Значит, условие замкнутости также существенно.

Теорема 8. Пусть Р замкнутое множество и

последовательность точек

Если

, то

Доказательство

Если последовательность

содержит бесконечное множество различных точек, то есть предельная точка Р и , если же в последовательности лишь конечное число различных точек, то, как легко понять, все члены последовательности, начиная с некоторого, совпадают с и

§ 3. Внутренние точки и открытые множества

Определение 1. Точка

, называется внутренней точкой множества E, если существует содержащий эту точку интервал , целиком содержащийся в множестве

E

Замечание. Из самого определения ясно, что внутренняя точка множества Е принадлежит этому множеству.

Определение 2. Множество Е называется открытым, если все его точки есть внутренние точки.

Примеры:

1) Всякий интервал

есть открытое множество;

2) Множество всех действительных чисел открыто;

3) пустое множество 0 открыто;

4) Отрезок

не является открытым множеством, так как его концы не являются внутренними точками.

Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств есть множество открытое.

Доказательство

Пусть

где все множества

открыты. Пусть , тогда , при некотором . Так как открытое множество, то существует такой интервал , что , но тогда , следовательно - внутренняя точка . Так как произвольная точка множества , то теорема доказана.

Следствие 1. Любое множество, представимое в форме сумме интервалов, открыто.

Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Доказательство

Пусть

где все

открыты.

Если

пусто, теорема доказана.

Допустим, что

не пусто, и пусть . Тогда 1, 2, …, и для каждого 1, 2, …, найдется интервал такой, что . Пусть и . Тогда очевидно , то есть внутренняя точка .