Структура некоторых числовых множеств (стр. 7 из 22)
Теорема 4.
Пусть
. Если 
, то и 
Доказательство
Пусть
есть некоторое взаимнооднозначное соответствие между 
и 
. Каждому элементу множества А в этом соответствии отвечает некоторый элемент множества 
.В частности те элементы
, которые отвечают элементам 
, образуют определенное множество 
.Таким образом,
связано взаимнооднозначным соответствием с 
. Но 
, значит те элементы 
, которые при этом отвечают элементам , образуют определенное множество 
.Теперь, поскольку
, а 
и 
связаны взаимнооднозначным соответствием 
, можно образовать множество 
и состоящее из тех элементов 
, которые отвечают элементам 
.Продолжая этот процесс, мы получим последовательность множеств
такую что
, 
, 
, 
,. . .
Отметим при этом, что справедливы и такие соотношения:
(*)вытекающие из самого определения множеств
.Пусть
Легко видеть, что
Причем отдельные слагаемые каждой из строк не пересекаются.
В силу (*) одинаково подчеркнутые слагаемые этих сумм эквивалентные друг другу. Но прочие слагаемые этих слагаемых попарно тождественно, откуда и вытекает эквивалентность А и
.Теорема доказана
Теорема 5. (Э. Шрёдер – Ф. Бернштейн). Пусть А и В два множества. Если каждое из них эквивалентно некоторому подмножеству другого, то они эквивалентны между собой.
Доказательство
Пусть
, 
, 
, 
.Установим взаимнооднозначное соответствие между
и 
, при этом те элементы 
, которые окажутся соответствующими элементам множества 
, образуют некоторое множество 
. Очевидно 
и 
(так как 
и 
). Отсюда, 
по теореме 4 (стр.20), а так как 
, то 
.Теорема доказана
Следствие 1. Если
и 
две мощности, то соотношения 
, 
, 
несовместимы.Доказательство
Действительно, тот факт, что соотношение
исключает оба прочих, вполне очевиден.Допустим теперь, что одновременно выполняются соотношения
и 
. Пусть А и В два множества мощностей и 
соответственно: 
, 
Так как
, то1) А и В не эквивалентны;
2)
, где .Но из того, что
, следует, что3)
, где 
.Из 2) и 3) вытекает, что
, а это противоречит 1).Следствие доказано.
Следствие 2. Если
, , 
три мощности и , 
, то 
, т.е. отношение 
транзитивно.Доказательство
Действительно, если А, В, С три множества мощностей
, 
, 
, соответственно, то 
, 
, откуда следует, что 
, где 
- множество тех элементов 
, которые в соответствии между В и 
отвечают элементам 
.Остается доказать, что А не
.Но если бы было
, то оказалось бы, что 
, а тогда по теореме 4 (стр. 20), мы имели бы, что 
, откуда 
и 
, что невозможно.