откуда следует, что рассматриваемое разложение может быть записано в виде
(1.12)Функция
называется производящей функцией для функций Бесселя с целым значком; найденное соотношение (1.12) играет важную роль в теории этих функций.Для получения общего интеграла уравнения (1.1), дающего выражение произвольной цилиндрической функции с целым значком
, необходимо построить второе решение уравнения, линейно независимое с . В качестве такого решения может быть взята функция Бесселя второго рода, исходя из определения которой нетрудно получить для аналитическое выражение в виде ряда (1.13)где
( – постоянная Эйлера) и, в случае , первую из сумм надлежит положить равной нулю.Функция
регулярна в плоскости с разрезом . Существенная особенность рассматриваемого решения состоит в том, что оно обращается в бесконечность, когда . Общее выражение цилиндрической функции для представляет линейную комбинацию построенных решений (1.14)где
и – произвольные постоянные,2 Функции Бесселя с произвольным значком
бессель цилиндрическая функция
Функции Бесселя, рассмотренные в пункте 1, составляют частный случай цилиндрических функций более общего вида, известных под названием функций Бесселя первого рода с произвольным значком
. Чтобы определить эти функции, рассмотрим рядгде
– комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом – параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.Легко видеть, что данный ряд сходится при любых
и , причем в области , ( – произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных.Действительно, начиная с достаточного большого
, отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное величинене будет превосходить некоторой правильной положительной дроби
, не зависящей от и . Отсюда, согласно известному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной области [4].Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом
сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного , регулярную в рассматриваемой разрезанной плоскости. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом и обозначается символом . Таким образом, (2.1)Нетрудно показать, что определенная таким образом функция есть частное решение уравнения
Действительно, обозначая левую часть этого уравнения
и полагая , мы находим, так же как в пункте 1,где
– коэффициенты ряда (2.1),откуда следует, что
Так как при фиксированном
, принадлежащем плоскости с разрезом члены ряда (2.1) представляют собой целые функции переменного , то из равномерной сходимости по отношению к этому переменному вытекает, что функция Бесселя первого рода, рассматриваемая как функция своего значка, есть целая функция . При целом и ряд (2.1) переходит в ряд (1.2), поэтому функции, определенные в настоящем параграфе, являются обобщением функций Бесселя с целым положительным значком, изученных в пункте 2. При равном целому отрицательному числу , первые членов ряда (2.1) обращаются в нуль, и рассматриваемая формула может быть записана в видеоткуда следует
(2.3)Таким образом, функции Бесселя с отрицательным целым значком отличаются от соответствующих функций с положительным значком только постоянным множителем.
Полученное соотношение вместе с формулами (1.10 – 1.11) показывает, что разложение (1.12) может быть записано в виде
(2.4)Многие равенства, установленные ранее для функций Бесселя с целым положительным значком, переносятся на функции с произвольным индексом без каких-либо изменений. Так, например, имеют место соотношения:
(2.5) (2.6) (2.7)