Функции Бесселя (стр. 4 из 7)

где

– логарифмическая производная гамма-функции.

Аналогично имеем

При

и поэтому первые членов ряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись известными формулами теории гамма-функции

;

получим для таких

поэтому

где введен новый значок суммирования

Из формулы (3.7) следует, что искомое разложение функции Бесселя второго рода с целым положительным значком имеет вид

(4.1)

где в случае

первую сумму надлежит положить равной нулю.

Значения логарифмической производной гамма-функции могут быть вычислены по формулам:

(4.2)

где

– постоянная Эйлера,

Принимая во внимание равенство (1.2), мы можем представить разложение (4.1) в несколько другом виде, именно:

(4.3)

Из (4.1) вытекает, что при

справедливы асимптотические формулы

(4.4)

показывающие, что

когда

5 Функции Бесселя третьего рода

К цилиндрическим функциям относятся также функции Бесселя третьего рода или функции Ханкеля

и , которые для произвольного и , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль полуоси , определяются при помощи формул

(5.1)

где

– функции Бесселя первого и второго рода.

Целесообразность введения этих функций обусловлена тем, что рассматриваемые линейные комбинации из

и обладают наиболее простыми асимптотическими разложениями при больших (пункт 8) и часто встречаются в приложениях.

Из определения функций Ханкеля следует, что эти функции представляют собой регулярные функции

в плоскости с разрезом и целые функции . Очевидно, что рассматриваемые функции линейно независимы между собой и по отношению к , так что общий интеграл уравнения Бесселя (3.1) может быть, наряду с (3.8), представлен в одной из следующих форм:

(5.2)

где

– произвольные постоянные.

Являясь линейными комбинациями функций

и , функции Ханкеля удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и эти функции, например,

(5.3)

и т.д.

Если с помощью (3.5) исключить из (5.1) функцию Бесселя второго рода, то получим

(5.4)

откуда вытекают важные соотношения:

(5.5)

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

С функциями Бесселя тесно связаны две часто встречающиеся в приложениях функции

и , которые для , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси и произвольного , могут быть определены при помощи формул:

(6.1)

(6.2)

и при целом

(6.3)

Повторяя рассуждения пункта 2, получаем, что

и представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции .

Рассматриваемые функции просто связаны с функциями Бесселя от аргумента

.

Действительно, предположим, что

. Тогда и из (2.1) следует

откуда

(6.4)

для всех

Аналогично из формулы (5.4) получаем для таких же