Функции Бесселя (стр. 5 из 7)

откуда

(6.5)

Для значений

функции и могут быть выражены через функции Бесселя от аргумента . Мы имеем

(6.6)

для всех

.

На основании полученных соотношений функции

и называются функциями Бесселя мнимого аргумента. Функция известна в литературе также под названием функции Макдональда.

Из выведенных формул непосредственно следует, что рассматриваемые функции представляют собой линейно независимые решения дифференциального уравнения

(6.7)

которое отличается от уравнения Бесселя только знаком одного члена и переходит в него при подстановке

.

Уравнение (6.7) часто встречается в математической физике. Общий интеграл этого уравнения при произвольном

может быть записан в виде

(6.8)

Функции

и удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям:

(6.9)

и т.д.

Рекуррентные формулы, содержащие функции

, доказываются подстановкой в них ряда (6.1). Соответствующие формулы для функций при , отличном от целого числа, проверяются путем подстановки в них выражения (6.2) и использования формул первой группы. Справедливость последних соотношений при целом следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку.

Укажем еще две полезные формулы:

(6.10)

первая из которых вытекает из (6.1), если принять во внимание, что при

первые членов разложения обращаются в нуль, в то время как вторая является прямым следствием определения функции Макдональда (6.2).

Разложение функции

при может быть получено из (6.3) методом пункта 5. Приведем окончательный результат вычисления:

(6.11)

Здесь

– логарифмическая производная гамма-функции, значения которой могут быть найдены по формулам (4.2). Для случая первую из сумм надлежит считать равной нулю.

Из (6.11) вытекает, что асимптотическое поведение функции

при определяется формулами

(6.12)

поэтому

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

Специальный класс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. В рассматриваемом случае цилиндрические функции могут быть выражены через элементарные функции. Чтобы показать это, найдем предварительно значения функций

, для чего положим в (2.1) и воспользуемся для преобразования рядов формулой удвоения гамма-функции

Мы получим тогда

(7.1)

и аналогично

(7.2)

Возможность выразить функцию Бесселя первого рода с любым полуцелым значком через элементарные функции следует теперь из рекуррентной формулы (2.5)

пользуясь которой можно последовательно получить:

и т. д.

Общее выражение для

через элементарные функции получается из формул (2.7). Например, если положить во второй из них и воспользоваться результатом (7.1), то находим:

(7.3)

Соответствующие формулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденных соотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функции Бесселя первого рода (3.5 и 5.4). Например, мы имеем:

(7.4)

и т. д.

В заключение укажем на формулы:

(7.5)

вытекающие из определений рассматриваемых функций (6.1 – 6.2).

Формулы для других полуцелых значений индекса получаются из этих формул с помощью рекуррентных соотношений (6.9). Лиувиллем доказано, что случай полуцелого индекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся к элементарным.

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях

и фиксированном значении индекса [5]. Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции.

Из цилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеют функции третьего рода.

Чтобы получить асимптотическое представление функции

, воспользуемся равенством

(8.1)

и преобразуем его с помощью подстановки

. Тогда получим

(8.2)

Заменяя множитель

биноминальным разложением с остаточным членом

и интегрируя почленно, находим

(8.3)

где

Предположим, что

( – произвольное малое положительное число) и будем временно считать, что выбрано так, что Оценка остаточного члена по модулю тогда дает