Функции Бесселя (стр. 6 из 7)

при фиксированном

Таким образом, для больших

(8.4)

Покажем, что условие, наложенное на

, может быть отброшено. Действительно, если , то можно выбрать такое , что . Представив с помощью формулы (8.4), где заменено на , и замечая, что

мы снова приходим к прежнему результату.

Также легко с помощью соотношения

освободиться от ограничения, наложенного на параметр .

Наконец, если воспользоваться вместо (8.1) интегральным представлением несколько более общего вида, можно показать, что найденная асимптотическая формула остается справедливой в более широком секторе

[5].

Таким образом, окончательно для больших

(8.5)

где

Асимптотическое представление для функции

получается аналогичным способом из формулы

(8.6)

и имеет следующий вид:

(8.7)

Асимптотические представления для цилиндрических функций первого и второго рода следуют из выведенных формул (8.5) и (8.7) и соотношений (5.1). Мы находим

(8.8)

(8.9)

Асимптотические формулы для модифицированных цилиндрических функций могут быть получены с помощью соотношений пункта 6.

Окончательные формулы имеют следующий вид:

(8.10)

(8.11)

знак соответствует

При условии, что

, второе слагаемое в (8.10) будет мало, и эта формула может быть записана в виде

(8.12)

Из (8.5) и (8.7 – 8.12) следует, что расходящиеся ряды, получающиеся, если формально положить

, являются асимптотическими для функций, стоящих в левых частях рассматриваемых равенств.

Способ, при помощи которого выведены рассматриваемые формулы, дает только порядок величины остаточного члена, но не позволяет сделать более точных заключений. При специальных предположениях относительно

и можно, путем некоторого видоизменения рассуждений, получить значительно более точные результаты. Так, например, можно показать, что если и – вещественные положительные числа и число взято настолько большим, что то остатки асимптотических разложений для и будут численно меньше первых отбрасываемых членов. В асимптотическом представлении для тот же результат имеет место при .

9 Нули цилиндрических функций

При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей цилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметь приближенно вычислять их значения.

Распределение нулей функций Бесселя с целым положительным значком, т. е. решений уравнения

(9.1)

устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Функция

не имеет комплексных нулей и имеет бесконечное множество вещественных нулей, расположенных симметрично относительно точки , которая, в случае принадлежит к их числу. Все нули функции – простые, за исключением точки , которая при является соответственно нулем кратности .

Распределение нулей функций Бесселя с произвольным вещественным индексом

, т. е. решений уравнения

– вещественно, (9.2)

дается более общей теоремой 5.

Теорема 5. Функция

– любое вещественное число) имеет бесконечное множество вещественных положительных нулей и конечное число комплексных сопряженных нулей, где, в зависимости от значения параметра ,

(1)

если или

(2)

при

Если

среди комплексных нулей имеется пара чисто мнимых.

Все нули функции простые, исключая, может быть, точку

.

В математической физику часто встречается уравнение