Застосування симетричних многочленів (стр. 3 из 7)

f(

, , x_n) =

Тоді різниця

=

повинна дорівнювати нулю при будь-яких значеннях x₁, x₂, …, x_n.

Зауважимо, що многочлен

можна розглядати двояко:як многочлен від x₁, x₂, …, x_n (бо від цих змінних залежать ) і як многочлен від нам треба розглянути останнє. Єдиність зображення (9) полягає саме в тому, що многочлени, мають однакові відповідні коефіцієнти, тобто що многочлен має коефіцієнти які дорівнюють нулю, в усіх членах . Але залежні між собою, бо виражаються через ті самі змінні , , x_n. У зв'язку з цим поряд з многочленом від залежних змінних розглянемо такий самий многочлен від незалежних змінних . Тепер нам треба довести, що коли той . Те саме можна сформулювати й інакше: нам треба довести, що коли , то тоді й .

Доведемо це методом математичної індукції по n. Нехай n=1 і

. Через те, що в цьому разі дорівнює x₁, то , бо , що те саме, що й

Нехай тепер п > 1, і наше твердження правильне для будь-якого числа змінних, меншого п. Чи може бути воно несправедливим для якогось многочлена від п змінних? Припустимо, що це так і існує многочлен

такий, що , але . Подамо за степенями y_п

де

— многочлени від , за нашим припущенням

(11)

Оскільки

, то хоч би один з його коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважати, що . Якщо , то надалі міркування проводять відносно многочлена , який дістаємо з після скорочення на. Виходить, що при у_п = 0

(12)

З другого боку, візьмемо в (11) х_п = 0. Тоді

, а інші , перетворюються в основні симетричні функції від (п-1) змінних. Позначимо їх через .Отже, при х_п = 0 з (11) дістаємо:

, 0) = (13)

Порівнюючи (12) з (13) бачимо, що ми прийшли до суперечності з припущенням індукції, а тому висловлене твердження справедливе і для п.

Єдиність зображення (9) доведено.

З основної теореми теорії симетричних многочленів можна зробити важливий висновок.

Теорема 2: Якщо f(x) — многочлен від однієї змінної над полем Р з коренями

(які можуть не належати Р), то будь-який симетричний многочлен f (x₁, x₂, …, x_n) над полем Р при набуває значення, яке є елементом поля Р.

Доведення. Нехай дано якийсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вигляді) над полем Р:

(14)

Позначимо корені цього многочлена через

; вони можуть і не належати полю Р. Візьмемо тепер довільний симетричний многочлен над Р від п змінних. За основною теоремою теорії симетричних многочленів, многочлен можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій з коефіцієнтами з поля Р, тобто

Візьмемо тепер тут

. Тоді за формулами Вієта всі основні симетричні функції дорівнюватимуть відповідним коефіцієнтам многочлена (14) з належним знаком:

……………………………………………………………

У зв'язку з цим

Але тоді

елемент поля Р як результат ви конання операцій додавання і множення над елементами з поля Р. Таким чином, . Отже, ми довели таке твердження.

У ряді питань доводиться зустрічатися з задачею побудови за даним многочленом f(х) є Р [х] з коренями

такого многочлена g(у), корені якого виражаються через відповідні корені за допомогою деякого многочлена у = f(х) над полем Р; . Найпростіші задачі такого типу зустрічаються в шкільному курсі алгебри для Р = Q. Оскільки коефіцієнти многочлена g(у) відповідно до формул Вієта визначаються рівностями

……………………………………………………………

,

то вони є значеннями деяких симетричних многочленів над Р, аргументи яких є коренями даного многочлена f(х). З oсновної теореми теорії симетричних многочленів випливає, що завжди можна знайти вираз коефіцієнтів

через коефіціeнти даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, що знайдений многочлен належатиме тому самому кільцю Р [х], що й даний многочлен.