Застосування симетричних многочленів (стр. 5 из 7)
Кожну степеневу суму
можна представити у вигляді многочлена від 
, 
, за умови, що 
.Таблиця 2.2 Вирази степенних сум
через при виконанні умови 
Існують одночлени, які не змінюються при перестановці змінних – симетричні одночлени. Легко побачити, що усі змінні в такий одночлен повинні входити в одному і тому ж степені, тобто цей одночлен повинен збігатися з добутком (взятий з деяким числовим коефіцієнтом).
Якщо показники степеня одночлена є різними то цей одночлен не є симетричним. Щоб отримати симетричний одночлен, одним із доданків, якого є, необхідно додати до нього інші одночлени.
Позначимо через O – многочлен з найменшим числом членів, одним із доданків, якого є одночлен, цей многочлен має назву орбіта.
Для отримання орбіти одночлена необхідно додати до нього одночлени отримані за допомогою перестановок змінних x, y, z. Якщо три показники степеня (k, l, m) не рівні між собою, то орбіта O(
буде складатися з шести членів. Наприклад:О(
Частинним випадком таких орбіт є степеневі суми:
O(
Якщо k = l = m, то орбіта є одночленом:
О(
.З цих формул за допомогою співвідношень
(*)Якщо k = l, то отримаємо
(**)З цього легко отримати вирази орбіт O(xkyl) через
за умови, що У таблиці 2.3 наведені вирази деяких орбіт O(xkyl) через
, Таблиця 2.3 Вирази орбіт O(xkyl) через
Наприклад,
Приклад 1. Довести, що якщо x + y + z = 0, то
За таблицею 2.1 маємо:
.За умовою s1 = x + y + z = 0, і тому
.
Приклад 2. Довести, що якщо
x + y + z =
, то xyz = 0.Умова завдання записується у вигляді
З цієї системи рівності знаходимо, що s2=0 і s3 = 0. Рівність s3=0 і означає, що xyz=0.
Приклад 3. Довести, що якщо x + y + z = 0 і xy + xz + yz = 0, то справедлива рівність
З наведеної таблиці 2.3, легко знаходимо (за умов
) : 
крім того, згідно таблиці 2.2:
З цих співвідношень безпосередньо витікає доводжувана рівність.
Приклад 4. Довести, тотожність
Для доведення позначимо число (– a – b) через c: с = – a – b.
Тоді a + b + c = 0 і можна застосувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Ліва частина доводжуваної тотожності перетвориться таким чином:
а права - таким чином:
Таким чином, доводжувана рівність справедлива.
Вказані способи доведення тотожності нерідко застосовуються у поєднанні з наступним прийомом: якщо обидві частини, тієї тотожності, що доводимо, виражається через різниці a
b, b c, c a, то зручно зробити заміну x = a b, y = b c, z = c a, тоді x + +y + z = (a b)(b c)(c a) = 0 і тому можна застосовувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Той же прийом можна застосовувати при розкладанні на множники многочленів, що виражаються через різниці a b, b c, c a. Розглянемо приклад.Приклад 5. Розкласти на множники многочлен
Вважаючи, що x = a
b, y = b c, z = c a, знаходимо: 
Ми скористались формулою
, запропонована у таблиці 2. 2.2.3 Звільнення від ірраціональності
Симетричні многочлени дозволяють розв’язати багато важких завдань про звільнення від ірраціональності в знаменнику. У разі, коли знаменник має вигляд
або 
цю задачу можна вирішити і без застосування симетричних многочленів. Для цього досить використовувати формули 
Складніше йде справа, якщо знаменник складається з трьох або більшого числа ірраціональних доданків. Тут і можуть допомогти симетричні многочлени. Розглянемо наступні приклади.
Приклад 1. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу
Покладемо
Тоді знаменник є не чим іншим, як елементаpним симетричним многочленом 
Спробуємо підшукати множник, після множення на який знаменник вдасться виразити через статечні суми s2 і s4. Оскільки ці степеневі суми мають вигляд 
знаменник стане раціональним виразом. Для знаходження цього множника використовуємо формули
(За табл. 2.1.). Ми бачимо, що в обох степеневих сумах лише останній доданок (у правій частині) не ділиться на
. Але дуже легко скомбінувати ці степеневі суми так, щоб останні доданки, що заважають нам, взаємно знищилися. Для цього суму 
піднесемо до квадрату