Застосування симетричних многочленів (стр. 6 из 7)
і віднімемо з цього квадрата подвоєну суму
. Ми отримаємо: 
,Звідки:
)Згадуючи, що
ми знаходимо (використовуючи вказані вище співвідношення 
Залишається помножити обидві частини отриманої рівності на q .
Зауваження. Щоб уникнути дещо неприємного (при розкритті дужок в чисельнику) вираження, можна було б спочатку перетворити чисельник в правій частині формули (*). Використовуючи співвідношення
ми можемо переписати формулу (*) у вигляді
Звідси ( вважаючи, як і раніше,
) отримуємо рішення задачі в зручнішому вигляді: 
Приклад 2. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу
Напишемо вираз степеневої суми s3 :
В правій частині тільки останній доданок
не ділиться на 
. Переносячи його в ліву частину, отримуємо: 
,Звідки:
Поклавши
знаходимо:
Ми бачимо, таким чином, що якщо знаменник дробу має вигляд
, то після множення чисельника і знаменника на вираз 
,у знаменнику отримаємо вираз
Тепер для звільнення від ірраціональності досить використати формулу:
.Потрібно помножити чисельник і знаменник на вираз
В результаті отримаємо:
Розглянуті приклади є окремими випадками наступного завдання. Нехай треба позбавитися від ірраціональності в знаменнику виразу
Іншими словами, ми повинні представити цей вираз у вигляді:
де A може бути скільки завгодно складним ірраціональним виразом, але знаменник B має бути раціональним. Ясно, що знаменник буде раціональним, якщо в нього самі корені
не входять, а входять лише їх n-і степені. Іншими словами, позначивши 
ми повинні відшукати тотожність виду: 
де f і g – деякі многочлени. Ця рівність переписується у вигляді
. І так, нам потрібно знайти такий многочлен від трьох змінних, що 
ділиться на 
Як же знайти такий многочлен g? Спробуємо використовувати симетричні многочлени. Простими прикладами симетричних многочленів, залежних тільки від (n – x) степеней змінних x, y, z, можуть служити степеневі суми
, 
Якщо нам вдасться скомбінувати ці степеневі суми так, щоб побудований з них многочлен g, якій би ділився на s1, то наше завдання вирішене.
Іноді буває важко скомбінувати степеневі суми sn, s2n, s3n, . . ., щоб отриманий з них многочлен, який би ділився б на
В цьому випадку може допомогти наступний прийом. Спробуємо використовувати (для отримання многочлен, що ділиться на) не тільки степеневі суми sn, s2n, s3n, . . ., але також і величину Адже при 
ми маємо 
тобто до раціональних виразів sn, s2n, s3n, . . , ми додаємо лише одну ірраціональність 
. Для звільнення від цієї ірраціональності, що залишилася, можна скористатися способами, вказаними на початку цього пункту.2.4 Вилучення коренів
Вилучення коренів можна нескладно виконати за допомогою так званого методу послідовних наближень. Додатково з цим методом можна ознайомитись в роботі [3]. Ми опишемо один спосіб побудови послідовних наближень, пов'язаний з симетричними многочленами.
Нехай треба обчислити
, де N - деяке додатнє число. У якості «нульових наближень» виберемо довільні додатні числа 
і додамо до них число 
Взяті числа володіють тією властивістю, що їхній добуток
Обчислимо тепер елементарні симметричні многочлени
від чисел a 
,які складають нульове наближення, і в якості першого наближення візьмемо числа 
Добуток усіх чисел першого наближення дорівнює
тобто так як і раніше дорівнює N.
Тепер складемо елементарні симетричні многочлени
від чисел 
,які складають перше наближення, і по ним так само знайдемо наступне, друге, наближення: 
Добуток всіх чисел другого наближення знову рівний N. Потім по числах другого наближення складемо третє наближення Можна довести, що при кожна з величин що складає n-те наближення, прямує до
.Приклад 1. При k = 2, тобто при вилученні квадратного кореня ми маємо такі формули:
і взагалі
, 
Нехай, наприклад, потрібно обчислити
Приймемо за 
число 2. Тоді отримуємо послідовно:  |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Переводячи прості дроби в десяткові, маємо: