Корреляционный анализ (стр. 4 из 6)
- возрастающая нечетная функция: z(-r) = -z(r).
Распределение вероятностей значений
приближается (тем более точно, чем больше объем выборки n) нормальным распределением вероятностей 
с параметрами: 
и 
.Статистика
имеет асимптотическое стандартное нормальное распределение 
.Асимптотически точный доверительный интервал надежности
для нормированного отклонения z: 
,где
- квантиль уровня 
распределения , т.е. корень уравнения 
.Доверительный интервал для математического ожидания
: 
.Величиной
в выражении 
можно пренебречь, принимая во внимание, что она при 
есть бесконечно малая более высокого порядка в сравнении с 
.Доверительный интервал для гиперболического арктангенса коэффициента корреляции
: 
.Решение относительно
данного двойного неравенства приводит к искомому доверительному интервалу для коэффициента корреляции: 
,с границами, определяемыми как значения гиперболического тангенса
для значений 
, равных соответственно 
и 
.Функция
задает преобразование, обратное 
-преобразованию Фишера. Следовательно, 
.Этапы определения ДИ для коэффициента корреляции
- находится выборочный коэффициент корреляции r;
- выполняется прямое преобразование Фишера значения r: 
;
- выбирается квантиль
, исходя из условия 
;- вычисляются значения
и 
;- с помощью обратного преобразования Фишера находятся границы ДИ:
и 
.Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
Их построение осуществляется в соответствии с общей схемой. При этом используются статистики:
; 
,имеющие распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равном
. 
; 
,где
- корень уравнения 
.Многомерная корреляционная модель
Предполагается, что совместное распределение анализируемых случайных переменных (признаков)
подчинено h-мерному нормальному закону.Типовые задачи
¨ определение тесноты связи между некоторыми переменными при фиксировании или исключении влияния остальных переменных;
¨ определение тесноты связи одной из рассматриваемых переменных с совокупностью всех остальных переменных, включенных в анализ.
Корреляционная матрица
Начальный этап многомерного корреляционного анализа количественных признаков состоит в оценке (приближении) на основе выборочных данных матрицы
,элементы которой
- парные коэффициенты корреляции переменных 
.Выборочная корреляционная матрица
В качестве статистического аналога корреляционной матрицы
принимается матрица 
,здесь
- выборочные парные коэффициенты корреляции переменных 
.Свойство корреляционных матриц
Матрицы
, qh симметричны относительно главной диагонали.Вся имеющаяся для анализа статистическая информация о зависимостях между случайными величинами
содержится в выборочной корреляционной матрице 
.Однако раскрытие многообразия взаимосвязей данных переменных непосредственно по их парным коэффициентам корреляции невозможно. Для проведения исследования при решении указанных типовых задач необходимо вычислять также частные и множественные коэффициенты корреляции, представляющие собой определенные действительные функции матрицы
.Частный коэффициент корреляции
,где
- минор элемента 
матрицы 
, т.е. определитель матрицы, получающейся из корреляционной матрицы удалением 
-ой строки и 
-го столбца.Свойства частного коэффициента корреляции
обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции 
, т.к. является коэффициентом корреляции 
для их условного двумерного распределения. В отличие от парного коэффициента корреляции , на величине которого сказывается не только влияние переменных друг на друга, но и воздействие остальных 
переменных, частный коэффициент корреляции 
позволяет характеризовать тесноту связи между признаками в «чистом» виде, исключая при анализе зависимости влияние других переменных. Если парный коэффициент корреляции 
больше соответствующего частного коэффициента , то можно заключить, что остальные рассматриваемые переменные усиливают взаимосвязь между изучаемыми величинами 
. Уменьшение значения парного коэффициента корреляции, в сравнении с отвечающим ему частным коэффициентом корреляции, свидетельствует об ослаблении связи между исследуемыми величинами 
в результате воздействия других переменных.