Корреляционный анализ (стр. 5 из 6)

Выборочный частный коэффициент корреляции

Точечная оценка

определяется по формуле:

,

здесь

- минор элемента выборочной корреляционной матрицы .

В случае трехмерной корреляционной модели для переменных

находятся три частных коэффициента корреляции:

;

;

.

называется частным коэффициентом детерминации.

Величина

есть доля дисперсии переменной , обусловленная вариацией при фиксированных остальных рассматриваемых переменных.

Множественный коэффициент корреляции

Мерой тесноты линейной взаимосвязи между переменной

и совокупностью остальных переменных служит множественный коэффициент корреляции:

,

Где

- определитель матрицы ;

- минор -го элемента главной диагонали матрицы .

Если

, то множественный коэффициент корреляции совпадает с абсолютным значением парного коэффициента корреляции , т.е. есть обобщение .

По величине множественного коэффициента корреляции делается вывод о тесноте, но не о направлении взаимосвязи.

Свойства множественного коэффициента корреляции

- Численное значение множественного коэффициента корреляции заключено между нулем и единицей:

.

- Если

, то переменная связана с остальными рассматриваемыми случайными величинами линейной функциональной зависимостью.

Например, для трехмерной корреляционной модели, если

, то точки расположены в плоскости регрессии на .

- Если

, то случайная величина стохастически независима от других переменных, входящих в анализ.

В частности, если

, то одномерная случайная величина и двумерная случайная величина являются независимыми (в силу нормальности их совместного распределения).

- Множественный коэффициент корреляции не уменьшается при введении в модель дополнительных признаков и не увеличивается при исключении отдельных признаков из модели.

- По величине множественный коэффициент корреляции переменной

не меньше абсолютной величины частного коэффициента корреляции данной и любой другой переменной :

.

Выборочный множественный коэффициент корреляции

В качестве точечной оценки

принимается

.

где

- минор -го элемента главной диагонали выборочной корреляционной матрицы .

В случае трехмерной корреляционной модели для переменных

вычисляются три множественных коэффициента корреляции:

;

;

.

называется множественным коэффициентом детерминации.

Множественный коэффициент детерминации

показывает долю дисперсии исследуемой случайной величины , обусловленную изменением остальных переменных .

Уравнения регрессии для трехмерной корреляционной модели

I. При фиксировании значения одной случайной величины в системе случайных величин

трехмерное нормальное распределение данных величин становится условным двумерным нормальным распределением, определяемым пятью параметрами.

Если фиксировано, например, значение

случайной величины , то условное двумерное нормальное распределение характеризуется следующими параметрами:

; ;

; ;

.

Линейная корреляционная зависимость между величинами

при фиксированном значении случайной величины графически выражается прямыми регрессии в плоскости :

;

.

II. При фиксированных значениях двух переменных в системе случайных величин

трехмерное нормальное распределение есть определяемое двумя параметрами условное одномерное нормальное распределение соответствующей переменной.

В частности, при фиксированных значениях

компонент двумерного случайного вектора совместное распределение переменных становится условным одномерным нормальным распределением случайной величины , параметрами которого являются условное математическое ожидание