Корреляционный анализ (стр. 1 из 6)

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ - математико-статистический метод выявления взаимозависимости компонент многомерной случайной величины и оценки тесноты их связи.

Предпосылки корреляционного анализа

При построении корреляционных моделей исходят из выполнения условий случайности результатов наблюдений и нормальности закона распределения анализируемой h-мерной генеральной совокупности, что обеспечивает линейный характер изучаемой зависимости между наблюдаемыми признаками

и позволяет использовать в качестве показателей силы стохастической (вероятностной) связи парные, частные и множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

Понятие "корреляционная зависимость"

В статистических исследованиях выделяют два вида связи между случайными величинами: функциональную и стохастическую.

Зависимость признаков

называется функциональной, если каждое наблюдаемое значение зависимой переменной однозначно определяется по полученным в том же самом наблюдении значениям остальных переменных согласно некоторому правилу: , единому для всех наблюдений.

Стохастической зависимостью переменной

от переменных называется такое отношение между случайными величинами , при котором каждой реализации случайного вектора однозначно соответствует некоторое условное распределение вероятностей случайной величины , при этом, по крайней мере, двум возможным различным реализациям отвечают неодинаковые распределения.

В отличие от функциональной зависимости, когда каждому набору значений объясняющих переменных

соответствует только одно значение объясняемой переменной , при стохастической зависимости любой допустимой совокупности значений отвечает множество возможных значений зависимой переменной .

Корреляционной зависимостью переменной

от переменных называется функциональная зависимость условного математическим ожидания случайной величины от реализации случайного вектора .

Корреляционная зависимость является лишь одной из частных форм стохастической связи между случайными величинами и не исчерпывает в общем случае весь объем понятия "стохастическая зависимость".

Функция

, устанавливающая зависимость условного математического ожидания от возможных значений случайных величин , называется функцией регрессии случайной величины на случайный вектор .

Если функция регрессии

представима как линейная комбинации своих аргументов:

,

где

- некоторые константы, то соответствующая корреляционная зависимость называется линейной.

Аналитическое задание корреляционной зависимости в виде

называется уравнением регрессии случайной величины

на случайный вектор .

Двумерная корреляционная модель

Анализируется корреляционная зависимость между двумя признаками

, .

Предполагается, что распределение вероятностей двумерной случайной величины

подчинено закону Гаусса, т.е. плотность совместного распределения , определяется формулой:

содержащей пять параметров:

- математическое ожидание ;

- математическое ожидание ;

- дисперсия ;

- дисперсия ;

- коэффициент корреляции между , .

Коэффициент корреляции как мера тесноты стохастической связи между двумя случайными величинами

Из условия нормальности совместного распределения признаков

, непосредственно вытекает, что распределение каждого их них также подчинено закону Гаусса с соответствующими параметрами:

;

.

Если

, то из выражений, задающих двумерную и одномерные плотности распределения вероятностей , , следует, что , т.е. , есть независимые между собой случайные величины.

Для случайных величин

, , совместное распределение которых является нормальным, понятия "некоррелированность" и "стохастическая независимость" эквивалентны.

Таким образом, для решаемой задачи коэффициент корреляции

может служить мерой силы стохастической взаимосвязи рассматриваемых случайных величин.

Вне рамок корреляционной модели равенство нулю коэффициента корреляции указывает лишь на некоррелированность исходных переменных, но не подтверждает отсутствие иной формы стохастической зависимости.

Коэффициент корреляции не имеет размерности и, следовательно, его можно использовать при анализе зависимости признаков, различающихся по мерным шкалам.

Значение

по абсолютной величине не превосходит единицы.