Метод золотого перерізу для пошуку екстремумів функцій (стр. 2 из 4)

У випадку розв’язування задачі можна використовувати класичний метод. Нехай функція

кусковогладка на [a,b], тобто може існувати лише скінчена кількість точок, де має розрив першого роду, або неперервна, однак не має похідної. У цьому разі точкою екстремуму функції на [a,b] може бути лише та точка, для якої виконується одна з умов:

1).

має розрив першого роду;

2).

неперервна, однак похідна не існує;

3).

4). х – точка на кінці відрізка;

Ці точки прийнято називати підозрілими на екстремум. На жаль, класичний метод має досить вузьке застосування. Обчислення похідної

в окремих випадках може бути трудомісткими, або взагалі неможливо обчислити.

Крім того, розв’язування рівняння

може бути не менш складним, ніж вихідна задача. Тому на практиці використовують методи, які дають змогу безпосередньо знайти мінімум . Для цього треба зробити обмеження на класи функції.

Означення III. Функція

є унімодальною на проміжку

, якщо існують такі числа

, що:

1).

строго монотонно спадає при

;

2).

строго монотонно зростає при

;

3).

при

, тобто

Випадки, коли один з відрізків

, , або два одночасно вироджуються в точку, можливі. Якщо , то є строго унімодальною на [a,b].

Означення IV. Відрізок

є локалізований, якщо

і значення обчислено не більше, ніж в одній точці .

1.2 Метод золотого поділу відрізку

Означення V. Золотим поділом відрізка на дві неоднакові частини називають поділ, за якого відношення довжини всього відрізка до довжини довшої його частини дорівнює відношенню довжини довшої частини відрізка до довжини його коротшої частини.

У випадку відрізка одиничної довжини

, звідси і .

Отже, довший відрізок має довжину

, а коротший .

У випадку довільного відрізку [a,b] точками золотого перерізу є

,

(1)

Виявляється, що точки х_1,х₂ – це точки золотого поділу для відрізків відповідно

Використовуючи властивість точок золотого поділу, можна запропонувати для розв’язування задачі (1.1) метод золотого поділу відрізка. Алгоритм цього методу такий.

Приймемо

виберемо точки

золотий поділ відрізок екстремум

й обчислимо значення

. Якщо , то приймемо , в іншому випадку Побудований відрізок є локалізований ,

і відомо значення

Нехай уже визначено точки , локалізований відрізок , обчислено відповідні значення функції

.У цьому випадку

,

Відома точка

, яка виконує золотий переріз відрізка , і обчислено значення мінімізаційної функції в цій точці: За іншу точку вибираємо , яка є другою точкою золотого перерізу відрізка

У цій точці обчислюємо

і визначаємо локалізований відрізок , а саме (будемо вважати, що ) у випадку приймемо , а у випадку (випадок розглядається аналогічно). Новий відрізок є локалізований