Метод золотого перерізу для пошуку екстремумів функцій (стр. 1 из 4)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ І МЕРЕЖ

КУРСОВА РОБОТА

З курсу “Обчислювальна техніка і програмування”

на тему: “Метод золотого перерізу для пошуку екстремумів функцій”

Ужгород 2009

Зміст

Вступ

1. Теоретичні відомості

1.1 Мінімізація функції однієї змінної

1.2 Метод золотого поділу відрізка

2. Постановка задачі

3. Текст програми

4. Результат роботи програми

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Через 2500 років після стародавніх греків в сучасній науці на передній план знов вийшли три «вічні» проблеми (рахунки, вимірювання і гармонії систем), які стояли біля витоків створення математики і точних наук. Авторові вдалося об'єднати нові математичні теорії, дані для вирішення цих проблем, в струнку математичну теорію, названу «Математикою Гармонії». У основі цій математики лежить «Золотий Перетин»! Ця нова математика може стати початком нового етапу в розвитку «Вищої Математики» і основою для створення нової науки - «Науки про Гармонію Систем». Вона може також стати початком реформи математичної освіти і нових комп'ютерних проектів, заснованих на Золотому Перетині.

Ще однією тенденцією сучасних наукових досліджень є повернення до проблемі гармонії систем , яка стояла в центрі античної науки; у зв'язку з цим виникає інтерес до знаменитого «Золотого Перетину», який зіграв в розвитку людської культури не меншу роль, чим число π, яке лежить в основі тригонометрії. Іоганн Кеплер назвав Золотий Перетин одним з «скарбів геометрії» і порівняв його із знаменитою «Теоремою Піфагора». Оцінюючи роль Золотого Перетину у розвитку старогрецької культури, геніальний російський філософ Олексій Лосев якось сказав: «З погляду Платона, та і взагалі з погляду всієї античної космології, світ є якесь пропорційне ціле, таке, що підкоряється закону гармонійного ділення - Золотого Перетину».

Із Золотим Перетином тісно пов'язано інше математичне відкриття, зроблене в 13-му столітті видатним італійським математиком Леонардо Пізано (по прізвиську Фібоначчі).

Йдеться про так звані числа Фібоначчі, які пізніше були вибрані предметом математичного дослідження групою американських математиків, що організували в 1963 р. так звану Фібоначчі-асоціацію. Золотий Перетин і пов'язані з ними числа Фібоначчі пронизує всю історію культури. Піраміда Хеопса, скульптурні і архітектурні пам'ятники грецької культури і епохи Ренесансу, неперевершена «Джоконда» Леонардо да Вінчі, картини Рафаеля Шишкіна і Костянтина Васильова, етюди Шопена, музика Бетховена, Чайковського і Белли Барток, «Модулор» Корбюз’є, соснові шишки, кактуси, ананаси, морські зірки і раковини, Єгипетський календар, квазікристали Шехтмана - ось далеко не повний перелік «творів» природи, науки і мистецтва, наповнених чудовою гармонією, в основі якої лежить Золотий Перетин!

Золотий Перетин займає значне місце в сучасних дослідженнях кількісних співвідношеннях живої і неживої природи. Яскраві відкриття сучасної науки - квазікристали Шехтмана, нова геометрична теорія філлотаксиса українського архітектора Боднара, закон структурної гармонії систем білоруського філософа Сороко, резонансна теорія Сонячної системи російського астронома Бутусова і інші сучасні наукові відкриття, засновані на Золотому Перетині, поза сумнівом мають «стратегічне» значення для розвитку сучасної науки. Необхідно відзначити також великий інтерес сучасної теоретичної фізики золотому перетину. Іншими словами, в даний час неможливо уявити собі подальший розвиток наук про природу без Золотого Перетину. І є надія, що і математична освіта також не залишиться в стороні від Золотого Перетину.

1. Теоретичні відомості

З задачами пошуку екстремуму однієї змінної частково вивчають у курсі математичного аналізу. На перший погляд ці задачі видаються простими і добре вивченими. Однак методи диференціального числення мають обмежене застосування і не завжди зручні для реалізації на ЕОМ. Хоча в останні десятиліття з’явилися набагато зручніші методи для використання на ЕОМ, які вимагають меншого об’єму чисельної роботи, але тим не більше цю область екстремальних задач не можна рахувати завершеною. Роботи, присвячені для нових методів екстримізації однієї змінної, продовжують з’являтися на сторінках математичних книг і журналів. Ми тут зупинимося на декотрих найбільш відомих методах, які достатньо добре себе проявили на практиці.

1.1 Мінімізація однієї змінної

Задача мінімізації однієї змінної має такий вигляд:

де

Залежно від функції

і множини множина розв’язків , може містити одну, декілька, або навіть і безмежну кількість точок. Можливі випадки, коли

Приклад 1: нехай , при і На множині мінімальне значення дорівнює 0, одна точка. Якщо то - три точки, у випадку - зчисленна множина точок, а для

Зазначимо таке: якщо

то нижня межа і min функції збігаються У цьому випадку говорять,що на досягає своєї нижньої межі, завжди існує, а не завжди має сенс.

Означення I: Послідовність

називають мінімізаційною для функції на множині , якщо

Означення II: Послідовність

збігається до не порожньої множини

, якщо

де

- відстань від до множини .

Якщо

то завжди існує мінімізаційна послідовність, яка збігається до . Однак не кожна мінімізаційна послідовність

буде збігатися до .

Приклад 2:

У нашому випадку

Послідовність для є мінімізаційною

хоча

У разі розв’язування задач мінімізації на множині

розрізнятимемо два типи задач:

1) Необхідно визначити

2) Потрібно визначити

і точку

У першому випадку можливий варіант

у другому – обов’язково . Отримати точний розв’язок задачі першого,або другого типів практично неможливо. Тому в першому випадку за беруть, для мінімізаційної послідовності

, деяке значення при достатньо великому . Для задач другого типу необхідно побудувати мінімізаційну послідовність ,яка збігається до , і за наближення до і взяти, відповідно і

при достатньо великому . Під час розв’язування задач другого типу в окремих випадках треба виконувати додаткові дослідження.