2).В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например,такой,что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).
2.Простейшие оценки Лемма 1.1. Пусть
и при некотором
Тогда имеет место оценка
3.Лемма Ватсона
Рассмотрим интеграл Лапласа,в котором S-степенная функция
где
Получим асимптотические оценки для
Главный член асимптотики имеет вид
Пример 4.Вычислим интеграл
Здесь
Получили формулу:
4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)
Рассмотрим интеграл Лапласа
Теорема 1.1. Пусть
1º.
2º.
3º.
Тогда при
Коэффициенты
Главный член асимптотики имеет вид
Рассмотрим интеграл
Пусть при
Пример 5.Вычислим интеграл
Функция
Пусть [a,b]- конечный отрезок
максимума только в точке
справедлива формула
где
Пример 6. Найдем асимптотику при
где
В данном случае
находим, что
Пример 7.Покажем, что при
Здесь
получим
5.Вклад от внутренней невырожденной точки максимума
Теорема 1.2. Пусть
1º.
2º.
3º.
Тогда при
Коэффициенты
Главный член асимптотики (1.9) имеет вид
Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, за исключением одного:
Тогда при