Смекни!
smekni.com

курсовые (стр. 1 из 3)

Асимптотические методы исследования интегралов с параметром

Курсовая работа

Выполнил: ст-т 4 курса Бутаев Г.Н.

Дагестанский государственный университет

Махачкала 2006

Введение

Многочисленные задачи математики, математической физики,механики,техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида

при больших значениях параметра

.

Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

1.Основные формулы

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

, (1.1)

где

-вещественнозначная функция,
-большой положительный параметр.Функция

может принимать комплексные значения.Будем считать для простоты,что
конечный отрезок и что
-достаточно гладкие при
функции.Тривиальный

случай

не рассматривается.

рис.1

Пусть

и достигается только в точке
.Тогда функция
имеет максимум в точке
,который тем резче,чем больше
(рис.1).Интеграл
можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума
, и это приближение будет тем точнее,чем больше
.В этой окрестности функции
можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.

Пусть

.Тогда
;пусть для простоты
.Тогда

,

где

- малое фиксированное число,и

,
.

Следовательно,

.

Заметим,что

.Последний интеграл равен

(
),

так как

.

Итак,мы получили асимптотическую формулу

(
). (1.2)

Пример 1.Вычислим интеграл

. (
).

Здесь функция

на отрезке [-1,1] имеет максимум в точке
;также

.Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2).

.

Получили формулу:

. (
).

Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера

Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция

не имеет максимума на данном интервале.

Представим подинтегральную функцию в виде

и сделаем замену переменной, положив

.Тогда имеем:

.

Наш интеграл примет вид:

.

Это интеграл Лапласа: здесь

и
.Функция
достигает максимума при
, причем
Поэтому по формуле (1.2) получаем

Получили формулу:

Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга

так как

для любого натурального
.

Пусть теперь

совпадает с одним из концов отрезка, например
,и пусть для простоты
.Заменяя
интегралом по отрезку
и заменяя приближенно на этом отрезке функции

, получаем,что

Заметим,что

.Вычисляя последний интеграл,получаем

, (
) (1.3)

Пример 3.Вычислим интеграл

Здесь функция

на отрезке [0,2] имеет максимум в точке
; также

Следовательно, можно применить формулу (1.3):

Получили формулу:

По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:

1).Подытегральная функция имеет при больших

резкий максимум (т.е. интеграл по отрезку I можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).