курсовые (стр. 1 из 3)
Асимптотические методы исследования интегралов с параметром
Курсовая работа
Выполнил: ст-т 4 курса Бутаев Г.Н.
Дагестанский государственный университет
Махачкала 2006
Введение
Многочисленные задачи математики, математической физики,механики,техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида
при больших значениях параметра
.Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.
С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.
Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.
1.Основные формулы
Интегралами Лапласа называются интегралы вида
, (1.1)где
-вещественнозначная функция, 
-большой положительный параметр.Функция 
может принимать комплексные значения.Будем считать для простоты,что 
конечный отрезок и что 
-достаточно гладкие при 
функции.Тривиальныйслучай
не рассматривается. 
рис.1
Пусть
и достигается только в точке 
.Тогда функция 
имеет максимум в точке ,который тем резче,чем больше (рис.1).Интеграл 
можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума , и это приближение будет тем точнее,чем больше .В этой окрестности функции 
можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.Пусть
.Тогда 
;пусть для простоты 
.Тогда 
,где
- малое фиксированное число,и 
, 
.Следовательно,
.Заметим,что
.Последний интеграл равен 
( 
),так как
.Итак,мы получили асимптотическую формулу
( ). (1.2)Пример 1.Вычислим интеграл
. ( ).Здесь функция
на отрезке [-1,1] имеет максимум в точке 
;также .Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2). 
.Получили формулу:
. ( ).Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера
Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция
не имеет максимума на данном интервале.Представим подинтегральную функцию в виде
и сделаем замену переменной, положив
.Тогда имеем: 
.Наш интеграл примет вид:
.Это интеграл Лапласа: здесь
и 
.Функция 
достигает максимума при 
, причем 
Поэтому по формуле (1.2) получаем 
Получили формулу:
Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга
так как
для любого натурального 
.Пусть теперь
совпадает с одним из концов отрезка, например 
,и пусть для простоты 
.Заменяя интегралом по отрезку 
и заменяя приближенно на этом отрезке функции 
, получаем,что 
Заметим,что
.Вычисляя последний интеграл,получаем 
, ( 
) (1.3)Пример 3.Вычислим интеграл
Здесь функция
на отрезке [0,2] имеет максимум в точке ; также 
Следовательно, можно применить формулу (1.3): 
Получили формулу:
По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:
1).Подытегральная функция имеет при больших
резкий максимум (т.е. интеграл по отрезку I можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).