Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов (стр. 1 из 3)

Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет)

Курсовая работа по

«теории вероятностей и математической статистике»

на тему:

Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов

Вариант №2

Выполнила: Студентка группы 05-202

Андреева Виктория

Принял: Преподаватель кафедры 804

Молчанов Игорь Иванович

Москва

2010 г.

ЗАДАНИЕ (вариант № 2) : Даны результаты измерений случайного процесса в равноотстоящие моменты времени (реализация временного ряда).

13,393 13,207 13,477 11,911 14,311 14,979 14,437 14,957 13,044 12,142

12,000 11,496 12,927 11,849 11,612 10,401 8,755 8,185 9,681 9,644

9,073 8,535 9,062 7,602 9,164 6,913 7,749 5,543 5,901 5,901

6,760 4,593 6,131 3,651 3,796 3,663 3,068 3,008 2,809 0,333

1,730 -0,072 0,479 -3,180 -2,962 -5,849 -6,153 -7,911 -10,134 -11,662

Измерения производятся с шагом по аргументу 0,08

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Требуется найти полиноминальную аппроксимацию этого процесса методом наименьших квадратов.

Теоретическая часть

Математическая статистика – наука о математических методах, позволяющих по статистическим данным, например по реализацией случайной величины (СВ), построить теоретико-вероятностную модель исследуемого явления. Задачи математической статистики являются, в некотором смысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятием математической статистики является выборка.

Выборка

Однородной выборкой (выборкой) объема n при

называется случайный вектор , компоненты которого , называемые элементами выборки, являются независимыми СВ с одной и той же функцией распределения F(x). Будем говорить, что выборка соответствует функции распределения F(x).

Реализацией выборки называется неслучайный вектор

, компонентами которого являются реализации соответствующих элементов выборки .

Из вышеописанных определений вытекает, что реализацию выборки

можно также рассматривать как последовательность из n реализаций одной и той же СВ X, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Поэтому можно говорить, что выборка порождена наблюдаемой СВ X, имеющей распределение .

Если компоненты вектора

независимы, но их распределения различны, то такую выборку называют неоднородной.

Множество S всех реализаций выборки

называется выборочным пространством.

Выборочное пространство может быть всем n-мерным евклидовым пространством

или его частью, если СВ X непрерывна, а также может состоять из конечного или счетного числа точек из , если СВ X дискретна.

На практике при исследовании конкретного эксперимента распределения

СВ редко бывают известны полностью. Часто априори (до опыта) можно лишь утверждать, что распределение случайного вектора принадлежит некоторому классу (семейству) .

Пара (S,F) называется статистической моделью описания серии опытов, порождающих выборку

.

Если распределение

из класса F определены с точностью до некоторого векторного параметра , то такая статистическая модель называется параметрической и обозначается .

В некоторых случаях выборочное пространство может не зависеть от неизвестного параметра

распределения .

В зависимости от вида статистической модели в математической статистике формулируются соответствующие задачи по обработке информации, содержащейся в выборке.

СВ

, где - произвольная функция, определенная на выборочном пространстве S и не зависящая от распределения , называется статистикой.

Кривая регрессии.

регрессия вероятность статистический опыт

Условное математическое ожидание

СВ как функция параметра называется регрессией на . График функции называется кривой регрессии на .

Точечная оценка.

Точечной (выборочной) оценкой неизвестного параметра распределения

называется произвольная статистика построенная на выборке и принимающая значения в множестве .

Оценка

параметра называется несмещенной, если ее МО равно , т. е. для любого .

Оценка

параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к , т. е. при для любого .

Оценка

параметра называется сильно состоятельной, если она сходится почти наверное к , т. е. при для любого .

Очевидно, что если оценка сильно состоятельная, то она является также состоятельной.

Доверительный интервал.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки

, в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра

получена из опыта несмещенная оценка . Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например, или 0,99) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение , для которого