Определение дуальных и двойных чисел (стр. 4 из 8)

(т.к.

).

Параллельный перенос на расстояние t

в направлении, перпендикулярном o, переводит прямую

в прямую

(рис. 3, б). Но

.

Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что

;

таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой

, где , . (22, а)

Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t

в направлении o и на расстояние t

в направлении l

o, записывается формулой

, , ,

или, если ввести обозначение

(т.е. ) и воспользоваться тем, что , , , формулой

, (23)

где

, , , .

Перейдём теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что поворот вокруг O на угол

переводит прямую в прямую , где (рис. 4). Таким образом,

(24)

(здесь используется то, что если z

иz

– дуальные числа, то

, и ). Далее, если dиd′– расстояния прямых zиz′ отполюса , то

поэтому

.

С другой стороны, поскольку

, то

. (24а)

Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой

, (25)

где

, .

Наконец, самое общее движение представляет собой поворот (25) вокруг O на некоторый угол

, причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):

.

В другом виде это преобразование можно записать так:

, (26а)

где

, .

Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o, сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O и параллельным переносом):

. (26б)

Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):

, (26в)

где

, , или

, (26г)

где

, .

Очевидно, что ориентированный угол

{ } между прямыми и равен (рис. 5, а)

Это можно записать так:

.

Полученный результат можно также представить в следующей симметричной форме:

. (27)

Найдём теперь ориентированное расстояние d={[

],[ ]} между точками [ ] и [ ] пересечения определённой прямой с двумя другими прямыми и (рис. 5, б). Очевидно, что расстояние d

между точками пересечения прямой o с прямыми и равно

.

Пример движения, переводящего данную прямую

в прямую o, даётся формулой

;

это движение переводит прямые

и в прямые и . Отсюда получаем

.(28)

Условием того, что прямые

, и пересекаются в одной точке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения и с , т.е., в силу формулы (28), вещественность отношения .