Определение дуальных и двойных чисел (стр. 6 из 8)

Последнему условию можно придать вид:

= , (33)

откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми

, , и , имеет вид

= . (34)

Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):

, A иC – чисто мнимые. (35)

Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).

Прямую уравнение (35) выражает при

. (36)

2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского

В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l, имеющей полярные координаты

, s, двойное число

, (37)

а расходящейся с oпрямой m, направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ, – число

, (37а)

где d={m,o}={P,Q} – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми mи o, т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых mи o, s’={O,Q} – ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).

Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o прямым lи l

, отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа

и

,

то прямой m

, отличающейся только направлением ототвечающей числу (37а) расходящейся с o прямой m, сопоставим число

. (37б)

Прямые, параллельные оси o, можно рассматривать как предельный случай пересекающих o прямых, отвечающий равенству нулю угла

, или как предельный случай расходящихся с o прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d. Так как из формул (37) и (37а) следует, что , соответственно , то естественно отнести параллельным o прямым, направленным в ту же сторону, что и o, делители нуля, т.е. числа вида . При этом прямым, параллельным o в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа , для которых или , т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение равносильно равенству или , а соотношение – равенству или . Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние p={O,l} от полюса O до пересекающей o прямой l (рис. 6), отвечающей двойному числу , находится из соотношения

. (38)

Поэтому двум параллельным o прямым n иn', удалённым от O на расстояние {O, n}={O, n'}=p, надо отнести числа

(где ), для которых , т.е. числа

и .

Наконец, исходя из соотношения

, связывающего двойные числа zи z

, отвечающие пересекающим ось o или расходящимся с o прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o прямым n

и n

(т.е. прямым, параллельным o и противоположно направленным), удалённым от O на расстояние {O, n

}={O,n

}=p

, числа

и ,

где

и – числа, обратные делителям нуля: , (если n и n

– две прямые, отличающиеся только направлением, то p={O, n}=–{O, n

}=–p

). Полярной оси o и противооси o

(т.е. прямой, отличающейся от o только направлением) сопоставим числа 0 и ∞.

Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные числа z, что

(т.к. и ни при каком d).

Чтобы распространить соответствие между прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём в рассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можно представить, как касательные к абсолюту

модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.

Такая прямая k, не параллельная o (т.е. отличная от касательных к

в точках пересечения с o), характеризуется тем, что d={k,o}= ; при этом следует считать, что d= , если отвечающая k бесконечно удалённая точка S плоскости Лобачевского расположена справа от o, и d=– в противном случае. Общим перпендикуляром k и o естественно считать прямую SQ, перпендикулярную o; при этом величина s'={O,Q} может принимать любое значение и соответственно этому каждому двойному числу , такому, что , можно сопоставить определённую бесконечно удалённую прямую k. Бесконечно удалённым прямым i

и i

, параллельным o (рис. 7), сопоставим числа и .