Определение дуальных и двойных чисел (стр. 7 из 8)

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненным числами

). При этом прямые l, пересекающие полярную ось o, отвечают двойным числам

, для которых

, т.е. числам, изображаемым на (u,v)‑плоскости точками области, помеченной на рис. 8 цифрой I. Прямые m, расходящиеся с o и направленные в ту же сторону, что и o, от общего перпендикуляра o и m, отвечают числам z, для которых

, т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o прямые m
, направленные в противоположную по сравнению с o сторону от общего перпендикуляра m
и o, отвечают числам z, для которых

, т.е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o прямые n отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми

, а противопараллельные o прямые n
отвечают числам

(эти числа не имеют изображений на (u,v)‑плоскости); бесконечно удалённые прямые k отвечают таким числам z, что

, т.е. числам, изображаемым точками гиперболы

, и ещё двум числам

Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения

(а),

(б),

(в) (21)

выражают симметрию относительно точки O, симметрию относительно прямой o и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:

, или

;

только в качестве переменных z', zи коэффициентов P, Q здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение

было положительно (если P и Q – дуальные числа, то последнее условие выполняется автоматически, т.к. произведения

не могут быть отрицательны). Также и ориентированный угол

{z
, z
} между прямыми z
и z
и ориентированное расстояние d={[z
z
],[z
z
]} между точками пересечения прямых z
и z
с прямой z
определяются формулами (27) и (28):

, (27)

. (28)

Из (28) следует, что условием того, что три прямые z

, z
и z
пересекаются в одной точке, является вещественность отношения

. Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеет вид

, A– чисто мнимое. (30)

Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:

а)–в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;

г) пучок равного наклона, т.е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;

д) параллельный пучок, т.е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;

е) неориентированную бесконечно удалённую окружность

При таком понимании термина цикл мы получаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыре ориентированные прямые z

, z
, z
и z
плоскости Лобачевского принадлежат одному циклу, является вещественность двойного отношения

этих четырёх прямых. Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:

, A иC – чисто мнимые. (35)

Чтобы решить, является ли цикл (35) окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл с бесконечно удалённой окружностью (абсолютом)

(т.е. сколько решений имеет система

) и будет ли вещественным или мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшись этим, получаем:

цикл (35) является окружностью, если

(39а)

цикл (35) является предельной линией, если

(39б)

является эквидистантой, если

(39в)