Определение дуальных и двойных чисел (стр. 8 из 8)

параллельным пучком, если

(39г)

пучком равного наклона, если

(39д)

цикл (35) представляет собой абсолют

, если

, (39е)

Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:

. (36)

Заключение

дуальное число модуль сопряженный

В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n. Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.

Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.

Литература

Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. – М.: Физматгиз, 1963

Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Наука, 1979

[1] Это утверждение остаётся в силе и в том случае, когда модуль одного или обоих сомножителей равен нулю (т. к. если

, то и ; так, например, ).

[2] Нетрудно видеть, что корень целой степени n>1 из дуального числа

, модуль которого равен нулю (из числа, являющегося делителем нуля), извлечь нельзя.

[3] В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двойных чисел, имеющих вторую из форм (15), является обыкновенным комплексным числом

Arg{r(shj+echj)}=j-i

.

Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда

z=|z|[ch(Arg z)+esh(Arg z)]