Смекни!
smekni.com

Определение дуальных и двойных чисел (стр. 1 из 8)

Введение

В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.

Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.

Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).

Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).

В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.


Глава I. Определение дуальных и двойных чисел

1.1 Дуальные числа

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:

(1)

Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа

на другое число
будет вещественным лишь в том случае, когда
; если
, то последнее равенство можно записать в виде
. Вещественным, в частности, является произведение чисел
и
:

(2)

Число

называют сопряжённым числу
(и обратно,
сопряжено
); корень квадратный
из произведения
(совпадающий с полусуммой
сопряжённых чисел
и
) называют модулем дуального числа
и обозначают через
(отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма
двух сопряжённых чисел является вещественной; разность
является числом чисто мнимым (т.е. отличается от
лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число
тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым
, когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)

,
,
,
(3)

полностью остаются в силе для дуальных чисел.

Правило деления на дуальное число

мы теперь можем записать так:

. (4)

Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число

необходимо, чтобы модуль
этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные
и
являются числами новой природы, которые условимся обозначать через
и
; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида
, где
вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:

при
;
.

Правила действий над символом

определяются следующими формулами:

,
,
,
,
, (5)

здесь

- произвольное число, причём в среднем равенстве
, а во втором и в двух последних
(
в этих формулах может быть и числом вида
); правила действий над числами
определяются так:

(6)

Положим ещё

,
; (6а)

тогда для расширенного (введением чисел

,
) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство
и все правила (3).

Число

нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число
, равное
, произведение которого на число
равняется нулю:

. (7)

Поэтому эти числа называют делителями нуля.

Дуальные числа ненулевого модуля

можно также записать в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:

. (8)

Здесь

есть модуль числа
, а отношение
называется аргументом этого числа и обозначается через Argz(rможет быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля;
- произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа
характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа
и
имеют одинаковый модуль r и противоположные аргументы
и
.