Практическое применение интерполирования гладких функций (стр. 2 из 3)
Решение. Из (8) следует:
Задача 2.
Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки Р0(х0, у0) и Р1(х1, у1), если х0=-1, у0=-3, х1=2, у1=4.
Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид
.Уравнение искомой прямой есть
.По строению
( 
). Но, в общем, это не так и 
( 
, ), так как интерполирование предполагает приближенное нахождение: 
( 
)И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав,
разность этого выражения нужно найти.Замечание 1.
( )чем постоянно записывать равенство, слагаемое
называют остаточным членом (или погрешность интерполяции).Теорема 1.
Если
[a,b] [2](9)
( 
, 
), где 
[a,b] в промежутке беспрерывно n+1 раз объясняет совокупность дифференцируемых функций. [a,b] - 
[a,b]; 
Берем любую точку и зафиксируем ее (
, ), рассмотрим вспомогательную функцию:(10)
, ( 
). 
- свободный параметр, который открыто объясняет 
( ).Значение
берем проходящим через равенство 
. В это время концы 
, будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.Существует
: 
( 
)Сейчас для этой теоремы берем точки
:Существует
: 
( )Когда закончим этот процесс, то получим следующее:
$
: 
Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.
Следствие 1:
Пусть
.В то время
( 
); над ними: 
.Задача 3:
С помощью узлов
построить полином 
для этой функции, при:1)
. Оценить погрешность полинома;2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.
Решение:
1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:
2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем: 
.Замечание 2:
Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях:
В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома
, то 
( 
) 
В этом случае из Следствия 1 следует, что
. Если свободная интерполяция находится в отрезке [a,b], то с помощью замены 
этот отрезок можно заменить на [-1;1]. В это время точки(11)
( 
, )будут однородными с корнями
, а остаточный член записывается следующим образом: 
.Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.
2. Один вид обобщенной интерполяции
Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества
. Для простоты и краткости возьмем [a,b]=[-1;1], 
.Пусть точки
и 
будут разными между собой. Поставим такую задачу:(12)
построить многочлен
, удовлетворяющий данным условиям. Здесь 
«собственный» оператор класса 
: 
Теорема 2.