Практическое применение интерполирования гладких функций (стр. 1 из 3)

Специальность

«Математические методы в экономике»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Практическое применение интерполирования гладких функций

2010

Содержание

Введение

1. Постановка задачи интерполяции

1.1 Определение термина интерполяции

1.2 Как выбрать интерполянт

1.3 Полиноминальная интерполяция

1.4 Интерполяционный полином Лагранжа

1.5Про погрешность полинома

2.Один вид обобщенной интерполяции

2.1 Обобщенная интерполяция

2.2 Важное представление гладкой функции

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно рассмотрим для начала само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.

Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическое применение интерполирования функций.

1. Постановка задачи интерполяции

интерполяция погрешность полином

1.1 Определение термина интерполяции

Пусть для функции f(x), определенной на какой - либо части R, известны её значения на некотором конечном множестве точек x₁, x₂, …, x_nÎ [a,b], и в этих точках функция f(x) определена как:

,

Требуется вычислить, хотя бы приближенно, значения при всех x.

Такая задача может возникнуть при проведении различных экспериментов, когда значения искомой функции определяются в дискретные моменты времени, либо в теории приближения, когда сложная функция сравнительно просто вычисляется при некоторых значениях аргумента, для функций заданных таблицей или графически и т.п.

Обычно функцию g(x_i), x_iÎ [a,b],

, с помощью которой осуществляется приближение, находят так, чтобы:

(1)

( )

Такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием. Точки x₁, x₂, …, x_n называют узлами интерполяции, если точка x, в которой вычисляется f(x), лежит вне отрезка [a,b], то употребляют термин экстраполяции. Функцию g(x_i),

, называют интерполянтом.

При этом следует ответить на следующий вопрос.

1.2 Как выбрать интерполянт

Такие функции строятся на основе комбинаций из элементарных функций.

(2)

,

– фиксированная линейно- независимая система, а ( ) - пока неизвестные параметры.

Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R - пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и

- заданная конечная или счетная система функций из R, такая, что их любая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечной совокупности точек x₁, x₂, …, x_n (x_i ≠ x_j при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из R найти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций так, чтобы в заданных точках значения f и φ совпадали. Другими словами, определить константы a₁, a₂, …, a_n так, чтобы

(3)

( )

Совершенно ясно, почему число коэффициентов

должно совпадать с числом узлов интерполяции x_i. Это нужно для того, чтобы матрица системы была квадратной (т.е. число неизвестных совпадало бы с числом условий, из которых находятся эти неизвестные). Кроме того, для однозначной разрешимости данной системы (при произвольной правой части) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е.:

:

Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетной функции, поэтому за часто берут такие системы как:

{1, х, х², …, хⁿ}, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)} ,

{1, e^xb1, e^xb2, …, e^xbn} (biÎR, bi≠bj (i≠j), nÎN).

1.3 Полиноминальная интерполяция

Если

являются степенями {1, х, х², …, хⁿ}, то говорят об алгебраической интерполяции, а функцию

называют интерполяционным полиномом и обозначим как:

(4)

Если

( ) (5),

то можно построить интерполяционный полином степени n и притом только один.

Найдем интерполяционный полином из вида (4). В это время, на основе (5), для нахождения неопределённых коэффициентов используем систему линейных уравнений:

a₀x₀ + a₁x₀ + a₂x₀² + …+ a_nx₀ⁿ= f_{0 ,}

a₀x₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + …+ a_nx₁ⁿ= f_{1 ,} (6)

_{………………………………………………………….}

a₀x₀ + a₁x_n + a₂x_n² + …+ a_nx_nⁿ= f_{n ,}

В этом случае определитель системы линейных алгебраических уравнений выглядит так:

.

Этот определитель является определителем Вандермонда и отличен от нуля в случае, когда все узлы x_i различны. Поскольку матрица системы невырождена, то решение системы существует и единственно.

Единственность интерполяционного полинома можно доказать следующим способом. Предположим, что есть два интерполяционных полинома

L_nи P_nÎH_n[1]: L_n≠ P_n.

Из (5) : L_n(x_i) - P_n(x_i) º0 и L_n(x_i) ºP_n(x_i) (

).

так, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полином единственный, то у соответствующей системы линейных алгебраических уравнений есть только одно решение.

1.4 Интерполяционный полином Лагранжа

Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена, степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x₁, x₂, …, x_nÎ [a,b], т.е. чтобы выполнялось равенство

(6) f(x_j)=L_n(x_j) (

).

Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n, которые в точках при i≠j равны нулю, а в точке при i=j равны единице. Очевидно, что:

(7) f_jÎH_n, f_j(x)=A_j(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_j-1)(x-x_j+1)…(x-x_n)=

,

где постоянная А находится из условия f_j(x_j)=1, тогда

Таким образом, получаем, что

f_j(x)

Получаем, что поставленную задачу решает многочлен

(8)

Многочлен (8) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Задача 1.

Пусть задана интерполяционная таблица:

i	0	1	2	3
	0	2	3	5
	1	3	2	5

Построить интерполяционный полином Лагранжа.